誘電率を $\varepsilon$ とし、透磁率を $\mu$ とする。
\begin{align} \mathrm{div} \ \boldsymbol{E} &= 0 \tag{a} \\ \mathrm{div} \ \boldsymbol{B} &= 0 \tag{b} \\ \frac{1}{\mu} \mathrm{rot} \ \boldsymbol{B} - \varepsilon \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} &= \boldsymbol{0} \tag{c} \\ \mathrm{rot} \ \boldsymbol{E} + \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} &= \boldsymbol{0} \tag{d} \end{align}
任意のベクトル場 $\boldsymbol{u}$ について \begin{align} \mathrm{rot} \ \mathrm{rot} \ \boldsymbol{u} = \mathrm{grad} \ \mathrm{div} \ \boldsymbol{u} + \nabla^2 \ \boldsymbol{u} \tag{e} \end{align} が成り立つ。
式 (d) に $\mathrm{rot}$ を作用させて、式 (e) を使うと \begin{align} \mathrm{grad} \ \mathrm{div} \ \boldsymbol{E} - \nabla^2 \ \boldsymbol{E} + \frac{\partial}{\partial t} \mathrm{rot} \ \boldsymbol{B} &= \boldsymbol{0} \end{align} となり、さらに式 (a), (c) を使うと、 \begin{align} - \nabla^2 \ \boldsymbol{E} + \varepsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2} \boldsymbol{E} &= \boldsymbol{0} \\ \therefore \ \ \left( \varepsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 \right) \boldsymbol{E} &= \boldsymbol{0} \end{align} となり、 $\boldsymbol{E}$ は速度の大きさ $1/\sqrt{\varepsilon \mu}$ の波動方程式に従うことがわかる。
また、式 (c) に $\mathrm{rot}$ を作用させて、式 (e) を使うと \begin{align} \frac{1}{\mu} \left( \mathrm{grad} \ \mathrm{div} \ \boldsymbol{B} - \nabla^2 \ \boldsymbol{B} \right) - \varepsilon \frac{\partial}{\partial t} \mathrm{rot} \ \boldsymbol{E} &= \boldsymbol{0} \end{align} となり、さらに式 (b), (d) を使うと、 \begin{align} - \frac{1}{\mu} \nabla^2 \ \boldsymbol{B} + \varepsilon \frac{\partial^2}{\partial t^2} \boldsymbol{B} &= \boldsymbol{0} \\ \therefore \ \ \left( \varepsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 \right) \boldsymbol{B} &= \boldsymbol{0} \end{align} となり、 $\boldsymbol{B}$ は速度の大きさ $1/\sqrt{\varepsilon \mu}$ の波動方程式に従うことがわかる。