\begin{align} Q = \sum_{i=1}^n \left( a + bx_i + cx_i^2 - y_i \right)^2 \end{align} とおくと、 $a,b,c$ が最小2乗推定値であるための条件は、 \begin{align} \frac{\partial Q}{\partial a} &= 2 \sum_{i=1}^n \left( a + bx_i + cx_i^2 - y_i \right) = 0 \\ \frac{\partial Q}{\partial b} &= 2 \sum_{i=1}^n \left( a + bx_i + cx_i^2 - y_i \right) x_i = 0 \\ \frac{\partial Q}{\partial c} &= 2 \sum_{i=1}^n \left( a + bx_i + cx_i^2 - y_i \right) x_i^2 = 0 \end{align} である。 これを整理すると、 \begin{align} & a + b \overline{x} + c \overline{x^2} - \overline{y} = 0 \\ & a \overline{x} + b \overline{x^2} + c \overline{x^3} - \overline{xy} = 0 \\ & a \overline{x^2} + b \overline{x^3} + c \overline{x^4} - \overline{x^2y} = 0 \tag{A} \end{align} となる。 ここで、 \begin{align} & \overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i , \ \ \ \ \overline{x^2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 , \ \ \ \ \overline{x^3} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^3 , \ \ \ \ \overline{x^4} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^4 \\ & \overline{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i , \ \ \ \ \overline{xy} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i y_i , \ \ \ \ \overline{x^2y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 y_i \end{align} とおいた。 よって、 \begin{align} \sum_{i=1}^n e_i x_i^2 &= \sum_{i=1}^n (y_i - \overline{y}_{x_i}) x_i^2 \\ &= \sum_{i=1}^n \left( y_i - \left( a + bx_i + cx_i^2 \right) \right) x_i^2 \\ &= n \left( \overline{x^2y} - a \overline{x^2} - b \overline{x^3} - c \overline{x^4} \right) \\ &= 0 \ \ \ \ \ \ \ \ (\because \text{ (A) }) \end{align} を得る。
求める信頼区間は、 \begin{align} \left[ \overline{X} - 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} , \overline{X} + 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right] \end{align} である。
与えられた条件は、 \begin{align} &1.96 \frac{1200}{\sqrt{n}} \leq 200 \end{align} \begin{align} \therefore \ \ & n \geq (6 \times 1.96)^2 \\ &\approx 138.2 \end{align} である。 よって、対象者を139人以上にする必要がある。