$y = \cos^{-1} x$ とおくと、 $x = \cos y, \ dx = - \sin y \ dy$ であり、次のように計算できる： \begin{align} \int_0^{1/\sqrt{2}} x \cos x dx &= \int_{\pi/2}^{\pi/4} \cos y \cdot y \cdot (- \sin y) dy \\ &= \frac{1}{2} \int_{\pi/4}^{\pi/2} y \sin 2y \ dy \\ &= -\frac{1}{4} \left[ y \cos 2y \right]_{\pi/4}^{\pi/2} + \frac{1}{4} \int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos 2y \ dy \\ &= \frac{\pi}{8} + \frac{1}{8} \left[ \sin 2y \right]_{\pi/4}^{\pi/2} \\ &= \frac{\pi - 1}{8} \end{align}
2次元極座標 $(r, \theta)$ を使って、次のように計算できる： \begin{align} \iint_D xy \ dx dy &= \int_0^1 r^3 \ dr \int_0^{\pi/2} \sin \theta \cos \theta \ d \theta \\ &= \frac{1}{2} \int_0^1 r^3 \ dr \int_0^{\pi/2} \sin 2\theta \ d \theta \\ &= \frac{1}{2} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^1 \left[ - \frac{1}{2} \cos 2 \theta \right]_0^{\pi/2} \\ &= \frac{1}{8} \end{align}
ABの順で開札されることを $S_{AB}$ , BAの順で開札されることを $S_{BA}$ で表す。 また、どちらも受注しないことを $J_0$ , Aのみ受注することを $J_A$ , Bのみ受注することを $J_B$ , 両方受注することを $J_{AB}$ で表す。 このとき、 $S_{AB}, S_{BA}$ を与えたときの $J_0, J_A, J_B, J_{AB}$ の条件付き確率は、 \begin{align} P(J_0 \mid S_{AB}) &= (1-P(A)) (1-P(B)) &= 0.48 \\ P(J_A \mid S_{AB}) &= P(A) \left( 1-\frac{P(B)}{2} \right) &= 0.36 \\ P(J_B \mid S_{AB}) &= (1-P(A)) P(B) &= 0.12 \\ P(J_{AB} \mid S_{AB}) &= P(A) \frac{P(B)}{2} &= 0.04 \\ P(J_0 \mid S_{BA}) &= (1-P(B)) (1-P(A)) &= 0.48 \\ P(J_A \mid S_{BA}) &= (1-P(B)) P(A) &= 0.32 \\ P(J_B \mid S_{BA}) &= P(B) \left( 1-\frac{P(A)}{2} \right) &= 0.16 \\ P(J_{AB} \mid S_{BA}) &= P(B) \frac{P(A)}{2} &= 0.04 \end{align} である。
求める確率は、 \begin{align} P(J_A) + P(J_B) + P(J_{AB}) &= 1 - P(J_0) \\ &= 1 - \frac{1}{2} P(J_0 \mid S_{AB}) - \frac{1}{2} P(J_0 \mid S_{BA}) \\ &= 0.52 \end{align} である。
\begin{align} P(J_B) &= \frac{1}{2} P(J_B \mid S_{AB}) + \frac{1}{2} P(J_B \mid S_{BA}) \\ &= 0.14 \end{align} であるから、求める確率は、 \begin{align} \frac{P(J_A) + P(J_{AB})}{P(J_A) + P(J_B) + P(J_{AB})} &= \frac{(P(J_A) + P(J_B)+ P(J_{AB})) - P(J_B)} {P(J_A) + P(J_B) + P(J_{AB})} \\ &= \frac{0.52-0.14}{0.52} \\ &= \frac{19}{26} \\ &\approx 0.73 \end{align} である。
\begin{align} P(J_A) &= \frac{1}{2} P(J_A \mid S_{AB}) + \frac{1}{2} P(J_A \mid S_{BA}) \\ &= 0.34 \end{align} であるから、求める確率は、 \begin{align} \frac{P(J_A)}{P(J_A) + P(J_B)} &= \frac{0.34}{0.34+0.14} \\ &= \frac{17}{24} \\ &\approx 0.71 \end{align} である。
\begin{align} \frac{y'}{y} &= \frac{3}{x} \\ \log |y| &= 3 \log |x| + C_0 \\ \therefore \ \ y &= Cx^3 \end{align} ここで、 $C_0, C$ は任意定数である。 （ $y=Cx^3$ が与えらえた微分方程式を満たすことは簡単に確かめられる。）
\begin{align} \frac{\partial u}{\partial x} = x^2-3y , \ \ \frac{\partial u}{\partial y} = -3x+y^2 \end{align} を満たす $u(x,y)$ を見つければよい。 まず、 $v(y)$ を $y$ の適当な関数として、 \begin{align} u(x,y) &= \int \left( x^2-3y \right) dx \\ &= \frac{1}{3} x^3 - 3xy + v(y) \end{align} であり、さらに $\partial u / \partial y$ を考えると、 \begin{align} - 3x + v'(y) &= -3x+y^2 \\ v'(y) &=y^2 \\ \therefore \ \ v(y) &= \frac{1}{3} y^3 - C \end{align} がわかる。 ここで $C$ は任意定数である。 以上より、与えられた微分方程式の一般解は、 \begin{align} \frac{1}{3} x^3 - 3xy + \frac{1}{3} y^3 = C \end{align} である。