$y = \cos^{-1} x$ とおくと、 $x = \cos y, \ dx = - \sin y \ dy$ であり、次のように計算できる： \begin{align} \int_0^{1/\sqrt{2}} x \cos x dx &= \int_{\pi/2}^{\pi/4} \cos y \cdot y \cdot (- \sin y) dy \\ &= \frac{1}{2} \int_{\pi/4}^{\pi/2} y \sin 2y \ dy \\ &= -\frac{1}{4} \left[ y \cos 2y \right]_{\pi/4}^{\pi/2} + \frac{1}{4} \int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos 2y \ dy \\ &= \frac{\pi}{8} + \frac{1}{8} \left[ \sin 2y \right]_{\pi/4}^{\pi/2} \\ &= \frac{\pi - 1}{8} \end{align}
2次元極座標 $(r, \theta)$ を使って、次のように計算できる： \begin{align} \iint_D xy \ dx dy &= \int_0^1 r^3 \ dr \int_0^{\pi/2} \sin \theta \cos \theta \ d \theta \\ &= \frac{1}{2} \int_0^1 r^3 \ dr \int_0^{\pi/2} \sin 2\theta \ d \theta \\ &= \frac{1}{2} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^1 \left[ - \frac{1}{2} \cos 2 \theta \right]_0^{\pi/2} \\ &= \frac{1}{8} \end{align}