神戸大学 大学院
工学研究科 市民工学専攻
2019年度 数学 5

• 問題はこちらから入手してください。
• 以下の解答はドラフト版です。
• 環境によっては、数式の表示に時間がかかる場合があります。

$$\begin{align} \frac{\partial u}{\partial x} = x^2-3y , \ \ \frac{\partial u}{\partial y} = -3x+y^2 \end{align}$$ を満たす $u(x,y)$ を見つければよい。 まず、 $v(y)$ を $y$ の適当な関数として、 $$\begin{align} u(x,y) &= \int \left( x^2-3y \right) dx \\ &= \frac{1}{3} x^3 - 3xy + v(y) \end{align}$$ であり、さらに $\partial u / \partial y$ を考えると、 $$\begin{align} - 3x + v'(y) &= -3x+y^2 \\ v'(y) &=y^2 \\ \therefore \ \ v(y) &= \frac{1}{3} y^3 - C \end{align}$$ がわかる。 ここで $C$ は任意定数である。 以上より、与えられた微分方程式の一般解は、 $$\begin{align} \frac{1}{3} x^3 - 3xy + \frac{1}{3} y^3 = C \end{align}$$ である。