確率密度関数の規格化の条件より、 \begin{align} 1 &= \int_{- \infty}^\infty f(x) dx \\ &= k \int_0^5 x(5-x) dx \\ &= k \left[ \frac{5}{2} x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^5 \\ &= k \frac{125}{6} \\ \therefore \ \ k &= \frac{6}{125} \end{align} がわかる。
求める確率は、 \begin{align} P \left( X \geq 3 \right) &= \int_3^\infty f(x) dx \\ &= 1 - \int_{-\infty}^3 f(x) dx \\ &= 1 - \frac{6}{125} \int_0^3 x(5-x) dx \\ &= \frac{44}{125} \end{align} である。
\begin{align} E \left( X \right) &= \int_{- \infty}^\infty x f(x) dx \\ &= \frac{6}{125} \int_0^5 x^2 (5-x) dx \\ &= \frac{5}{2} \\ E \left( X^2 \right) &= \int_{- \infty}^\infty x^2 f(x) dx \\ &= \frac{6}{125} \int_0^5 x^3 (5-x) dx \\ &= \frac{15}{2} \\ V \left( X \right) &= E \left( X^2 \right) - E \left( X \right)^2 \\ &= \frac{5}{4} \end{align}
$ \mathrm{tr} A = \mathrm{tr} (P^{-1}AP) $ が成り立つので、 $a=-1$ がわかる。
$3$ 次の単位行列を $E$ とする。 $A$ の固有値を $\lambda$ とすると、 \begin{align} 0 &= \det \left( A - \lambda E \right) \\ &= -(\lambda-1)^2(\lambda+2) \\ \therefore \ \ \lambda &= 1, -2 \end{align} がわかる。 固有値 $\lambda=1$ に属する固有ベクトルを求めるため、 \begin{align} \left( A - E \right) \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} とおくと、 $x=2y,z=0$ がわかるので、規格化された固有ベクトルとして、 \begin{align} \boldsymbol{u} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} を得る。 固有値 $\lambda=1$ に属する一般化固有ベクトルを求めるため、 \begin{align} \left( A - E \right) \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \boldsymbol{u} \end{align} とおくと、 $-x+2y=2/\sqrt{5}, z=3/\sqrt{5}$ がわかるので、 \begin{align} \boldsymbol{v} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align} とすればよい。 固有値 $\lambda=-2$ に属する固有ベクトルを求めるため、 \begin{align} \left( A + 2E \right) \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} とおくと、 $x+y=0,z=0$ がわかるので、規格化された固有ベクトルとして、 \begin{align} \boldsymbol{w} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} を得る。 以上より、求める $P$ は \begin{align} P &= \begin{pmatrix} \boldsymbol{u} & \boldsymbol{v} & \boldsymbol{w} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & \frac{3}{\sqrt{5}} & 0 \end{pmatrix} \end{align} である。
\begin{align} \int_C f(x,y) ds &= \int_0^1 f(x,x) dx \\ &= \int_0^1 \frac{6x}{3x^2+1} dx \\ &= \left[ \log \left( 3x^2+1 \right) \right]_0^1 \\ &= 2 \log 2 \end{align}
まず、 $3xdy/dx=5y$ を考えると、 \begin{align} \frac{dy}{y} = \frac{5}{3x} \end{align} なので、積分定数を $A$ として、一般解は $y = A x^{5/3}$ である。 そこで、 $B(x)$ を適当な関数として、 $y = B(x) x^{5/3}$ を与えられた微分方程式に代入すると、 \begin{align} \frac{dB(x)}{dx} &= \frac{1}{3} x^{-5/3} \\ \therefore \ \ B(x) &= - \frac{1}{2} x^{-2/3} + C \ \ \ \ \text{( $C$ は積分定数 )} \end{align} を得るので、求める一般解は、 \begin{align} y(x) &= \left( - \frac{1}{2} x^{-2/3} + C \right) x^{5/3} \\ &= - \frac{x}{2} + C x^{5/3} \ \ \ \ \text{( $C$ は積分定数 )} \end{align} であることがわかる。