与えられたシュレディンガー方程式に $\Psi(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta)$ を代入して整理すると、 \begin{align} \frac{1}{r} \frac{R'(r)}{R(r)} + \frac{R''(r)}{R(r)} + \frac{1}{r^2} \frac{\Theta''(\theta)}{\Theta(\theta)} = - \frac{2m_0E}{\hbar^2} \tag{a} \end{align} となる。 ここで、 \begin{align} R'(r) = \frac{dR(r)}{dr} , \ \ R''(r) = \frac{d^2 R(r)}{dr^2} , \ \ \Theta''(\theta) = \frac{d^2 \Theta(\theta)}{d \theta^2} \end{align} である。 $\Theta''(\theta)/\Theta(\theta)$ は $r$ によらない $\theta$ のみの関数であるが、 式 (a) から、 $\theta$ にもよらない定数でなければならないことがわかる。 これを $\alpha$ とすると、 \begin{align} \Theta''(\theta) = \alpha \Theta(\theta) \tag{b} \end{align} であり、式 (a) から \begin{align} R''(r) + \frac{1}{r} R'(r) + \left( \frac{\alpha}{r^2} + \frac{2m_0E}{\hbar^2} \right) R(r) = 0 \tag{c} \end{align} を得る。 (b), (c) が求める微分方程式である。
\begin{align} \Psi(L, \theta) &= 0 , \\ \Psi(r, 2 \pi) &= \Psi(r, 0) \end{align}
$\Psi_m(r_0,\theta) = Ae^{im\theta}$ は規格化定数を除いて \begin{align} \Theta(\theta) &= e^{im\theta} \tag{d} \end{align} を意味する。 式 (d) を (b) に代入すると、 \begin{align} \alpha = - m^2 \tag{e} \end{align} を得る。 $r=r_0$ に束縛されていることから、式 (c) において $r=r_0, R'(r)=0, R''(r)=0$ とし、 さらに (e) を代入して整理すると、 \begin{align} E = \frac{m^2 \hbar^2}{2m_0r_0^2} \end{align} を得る。 これが求めるエネルギーである。