\begin{align} \hat{H} \frac{1}{\sqrt{2}} \left( | 1 \rangle - | 3 \rangle \right) &= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (- \varepsilon) \left( | 2 \rangle - | 2 \rangle \right) \\ &= 0 \end{align} なので、求める期待値は $0$ である。
\begin{align} \hat{H} \left( a | 1 \rangle + b | 2 \rangle + a | 3 \rangle \right) &= - \varepsilon \left( a | 2 \rangle + b \left( | 3 \rangle + | 1 \rangle \right) + a | 2 \rangle \right) \\ &= - \varepsilon \left( b | 1 \rangle + 2a | 2 \rangle + b | 3 \rangle \right) \end{align} なので、エネルギー固有値を $E$ とすると \begin{align} E a = - \varepsilon b , \ \ E b = - 2 \varepsilon a \end{align} であり、 \begin{align} \frac{b}{a} = \pm \sqrt{2} , \ \ E = - \varepsilon \frac{b}{a} = \mp \sqrt{2} \varepsilon \ \ \ \ \text{ (複合同順) } \end{align} を得る。
問 1, 2 より、 \begin{align} | \varphi_0 \rangle &= | 1 \rangle - | 3 \rangle \\ | \varphi_+ \rangle &= | 1 \rangle + \sqrt{2} | 2 \rangle + | 3 \rangle \\ | \varphi_- \rangle &= | 1 \rangle - \sqrt{2} | 2 \rangle + | 3 \rangle \end{align} は $\hat{H}$ の1次独立な固有状態であることがわかる。 \begin{align} 2 | \varphi_0 \rangle + | \varphi_+ \rangle + | \varphi_- \rangle = 4 | 1 \rangle \end{align} なので、 \begin{align} | 1 \rangle = \frac{1}{4} \left( 2 | \varphi_0 \rangle + | \varphi_+ \rangle + | \varphi_- \rangle \right) \end{align} と書ける。
$ | \varphi_0 \rangle, | \varphi_+ \rangle, | \varphi_- \rangle $ は、それぞれ $\hat{H}$ の固有値 $0, - \sqrt{2} \varepsilon, \sqrt{2} \varepsilon$ に属する固有状態であることを考慮して、 \begin{align} | \Psi (t) \rangle &= \frac{1}{4} \left( 2 | \varphi_0 \rangle + e^{ i \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar}} | \varphi_+ \rangle + e^{ -i \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar}} | \varphi_- \rangle \right) \\ &= \frac{1}{4} \left( \left( 2 + e^{ i \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar}} + e^{ -i \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar}} \right) | 1 \rangle + \sqrt{2} \left( e^{ i \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar}} - e^{ -i \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar}} \right) | 2 \rangle + \left( -2 + e^{ i \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar}} + e^{ -i \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar}} \right) | 3 \rangle \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \left( 1 + \cos \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar} \right) | 1 \rangle + \sqrt{2} i \sin \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar} | 2 \rangle + \left( -1 + \cos \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar} \right) | 3 \rangle \right) \end{align} がわかる。 よって、 $| \Psi(t) \rangle = - | 3 \rangle$ となる最小の $t \ ( \gt 0)$ は \begin{align} \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar} &= \pi \\ \therefore \ \ t &= \frac{\pi \hbar}{\sqrt{2} \varepsilon} \end{align} である。