$k \ (=1, 2, \cdots)$ 回目に初めて 6 の目が出る確率は \begin{align} \left( \frac{5}{6} \right)^{k-1} \cdot \frac{1}{6} \end{align} であるから、求める平均は \begin{align} \frac{1}{6} \sum_{k=1}^\infty k \left( \frac{5}{6} \right)^{k-1} &= \frac{1}{6} \frac{1}{(1 - 5/6)^2} \\ &= 6 \end{align} である。
A, B は排反になりえない。 なぜなら、排反のとき $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ が成り立つが、 今の場合 $P(A)+P(B)=1/2+3/4=5/4 \gt 1$ となるからである。
$Y_i =0,1$ となる確率はそれぞれ \begin{align} P \left( Y_i = 0 \right) &= F_X(c) \\ P \left( Y_i = 1 \right) &= 1 - F_X(c) \end{align} であるから、 $k = 0, 1, 2, \cdots, n$ として、求める確率関数は \begin{align} P \left( \sum_{i=1}^n Y_i = k \right) &= {}_n C_k \ F_X(c)^{n-k} \left( 1 - F_X(c) \right)^k \end{align} である。
確率密度関数の規格化の条件 \begin{align} 1 &= \int_{- \infty}^\infty f(x;1) dx = a \int_0^1 x \ dx = \frac{a}{2} \end{align} から $ a = 2 $ がわかる。
$\theta=0$ のとき、 $X$ の期待値 $E(X)$ 、 $X^2$ の期待値 $E(X^2)$ 、 $X$ の分散 $V(X)$ は、それぞれ次のように計算できる： \begin{align} E \left( X \right) &= \int_0^1 x \ dx = \frac{1}{2} \\ E \left( X^2 \right) &= \int_0^1 x^2 \ dx = \frac{1}{3} \\ V \left( X \right) &= E \left( X^2 \right) - E \left( X \right)^2 = \frac{1}{12} \end{align}
求める積率母関数は、次のように計算できる： \begin{align} M(t) &= \int_0^1 e^{tx} \ dx \\ &= \frac{1}{t} \left[ e^{tx} \right]_0^1 \\ &= \frac{e^t - 1}{t} \end{align}
尤度 \begin{align} l(\theta) = f(x_1;\theta) f(x_2;\theta) \cdots f(x_n;\theta) \end{align} は、今の場合、 \begin{align} l(0) &= 1 \\ l(1) &= 2^n x_1 x_2 \cdots x_n \end{align} となるので、 $\theta$ の最尤推定量は次のように求まる： \begin{align} \hat{\theta} = \begin{cases} 0 &, X_1 X_2 \cdots X_n \lt 1/2^n \\ 1 &, X_1 X_2 \cdots X_n \gt 1/2^n \end{cases} \end{align}