神戸大学 大学院 経済学研究科
2022年度 第I期 統計学 第1問

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(1)

$k \ (=1, 2, \cdots)$ 回目に初めて 6 の目が出る確率は $$\begin{align} \left( \frac{5}{6} \right)^{k-1} \cdot \frac{1}{6} \end{align}$$ であるから、求める平均は $$\begin{align} \frac{1}{6} \sum_{k=1}^\infty k \left( \frac{5}{6} \right)^{k-1} &= \frac{1}{6} \frac{1}{(1 - 5/6)^2} \\ &= 6 \end{align}$$ である。

(2)

A, B は排反になりえない。 なぜなら、排反のとき $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ が成り立つが、 今の場合 $P(A)+P(B)=1/2+3/4=5/4 \gt 1$ となるからである。

(3)

$Y_i =0,1$ となる確率はそれぞれ $$\begin{align} P \left( Y_i = 0 \right) &= F_X(c) \\ P \left( Y_i = 1 \right) &= 1 - F_X(c) \end{align}$$ であるから、 $k = 0, 1, 2, \cdots, n$ として、求める確率関数は $$\begin{align} P \left( \sum_{i=1}^n Y_i = k \right) &= {}_n C_k \ F_X(c)^{n-k} \left( 1 - F_X(c) \right)^k \end{align}$$ である。