$k \ (=1, 2, \cdots)$ 回目に初めて 6 の目が出る確率は \begin{align} \left( \frac{5}{6} \right)^{k-1} \cdot \frac{1}{6} \end{align} であるから、求める平均は \begin{align} \frac{1}{6} \sum_{k=1}^\infty k \left( \frac{5}{6} \right)^{k-1} &= \frac{1}{6} \frac{1}{(1 - 5/6)^2} \\ &= 6 \end{align} である。
A, B は排反になりえない。 なぜなら、排反のとき $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ が成り立つが、 今の場合 $P(A)+P(B)=1/2+3/4=5/4 \gt 1$ となるからである。
$Y_i =0,1$ となる確率はそれぞれ \begin{align} P \left( Y_i = 0 \right) &= F_X(c) \\ P \left( Y_i = 1 \right) &= 1 - F_X(c) \end{align} であるから、 $k = 0, 1, 2, \cdots, n$ として、求める確率関数は \begin{align} P \left( \sum_{i=1}^n Y_i = k \right) &= {}_n C_k \ F_X(c)^{n-k} \left( 1 - F_X(c) \right)^k \end{align} である。