確率密度関数の規格化の条件 \begin{align} 1 &= \int_{- \infty}^\infty f(x;1) dx = a \int_0^1 x \ dx = \frac{a}{2} \end{align} から $ a = 2 $ がわかる。
$\theta=0$ のとき、 $X$ の期待値 $E(X)$ 、 $X^2$ の期待値 $E(X^2)$ 、 $X$ の分散 $V(X)$ は、それぞれ次のように計算できる： \begin{align} E \left( X \right) &= \int_0^1 x \ dx = \frac{1}{2} \\ E \left( X^2 \right) &= \int_0^1 x^2 \ dx = \frac{1}{3} \\ V \left( X \right) &= E \left( X^2 \right) - E \left( X \right)^2 = \frac{1}{12} \end{align}
求める積率母関数は、次のように計算できる： \begin{align} M(t) &= \int_0^1 e^{tx} \ dx \\ &= \frac{1}{t} \left[ e^{tx} \right]_0^1 \\ &= \frac{e^t - 1}{t} \end{align}
尤度 \begin{align} l(\theta) = f(x_1;\theta) f(x_2;\theta) \cdots f(x_n;\theta) \end{align} は、今の場合、 \begin{align} l(0) &= 1 \\ l(1) &= 2^n x_1 x_2 \cdots x_n \end{align} となるので、 $\theta$ の最尤推定量は次のように求まる： \begin{align} \hat{\theta} = \begin{cases} 0 &, X_1 X_2 \cdots X_n \lt 1/2^n \\ 1 &, X_1 X_2 \cdots X_n \gt 1/2^n \end{cases} \end{align}