\begin{align} \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x - \sin x} &= \lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{1 - \cos x} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{6x}{\sin x} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{6}{\cos x} \\ &= 6 \end{align}
\begin{align} \int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2} &= \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} \frac{d \theta}{\cos^2 \theta} \ \ \ \ \ \ \ \ ( x = \tan \theta ) \\ &= \int_0^\frac{\pi}{2} d \theta \\ &= \frac{\pi}{2} \\ \therefore \ \ \int_0^\infty \int_0^\infty \frac{dx dy}{(1+x^2)(1+y^2)} &= \frac{\pi^2}{4} \end{align}
$A$ の固有値を $\lambda$ とすると、 \begin{align} 0 &= \det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 2 & 1 - \lambda \end{pmatrix} \\ &= (\lambda-3)(\lambda+1) \end{align} なので、 \begin{align} \lambda_1 = 3 , \ \ \lambda_2 = -1 \end{align} である。
固有値 $\lambda_1=3$ に属する固有ベクトルを求めるため \begin{align} \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} とおくと $x=y$ を得る。 固有値 $\lambda_2=-1$ に属する固有ベクトルを求めるため \begin{align} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} とおくと $x+y=0$ を得る。 よって、 \begin{align} X = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{align} である。