\begin{align} \Gamma \left( \frac{1}{2} \right) &= \int_0^\infty x^{-\frac{1}{2}} e^{-x} dx \\ &= \int_0^\infty t^{-1} e^{-t^2} 2tdt \ \ \ \ \ \ \ \ (t=\sqrt{x}) \\ &= 2 \int_0^\infty e^{-t^2} dt \\ &= \sqrt{\pi} \end{align}
\begin{align} \Gamma \left( s+1 \right) &= \int_0^\infty x^s e^{-x} dx \\ &= - \left[ x^s e^{-x} \right]_0^\infty + s \int_0^\infty x^{s-1} e^{-x} dx \\ &= s \Gamma (s) \end{align}
(2.1), (2.2) から \begin{align} \Gamma \left( 1 + \frac{1}{2} \right) &= \frac{1}{2} \Gamma \left( \frac{1}{2} \right) \\ &= \frac{1}{2} \sqrt{\pi} \\ \Gamma \left( 2 + \frac{1}{2} \right) &= \frac{3}{2} \Gamma \left( \frac{3}{2} \right) \\ &= \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi} \\ \Gamma \left( 3 + \frac{1}{2} \right) &= \frac{5}{2} \Gamma \left( \frac{5}{2} \right) \\ &= \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi} \end{align} がわかり、自然数 $n$ について \begin{align} \Gamma \left( n + \frac{1}{2} \right) &= \frac{\prod_{k=1}^n (2k-1)}{2^n} \sqrt{\pi} \end{align} が成り立つことがわかる。