\begin{align} D \boldsymbol{u}_1 = \boldsymbol{0} , \ \ D \boldsymbol{u}_2 = \boldsymbol{0} \end{align} より、 $ \boldsymbol{u}_1, \boldsymbol{u}_2 \in V $ がわかる。
\begin{align} D \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2a+b+c+d \\ a-d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} とおくと $d=a, c=a-b$ が得られるので、 $V$ は2次元であることがわかる。
$\boldsymbol{u}_1, \boldsymbol{u}_2$ は、互いに実数倍ではないので、 1次独立であり、 (1) を考慮して、 $V$ の基底であることがわかる。
まず、 \begin{align} L_A \left( \boldsymbol{u}_1 \right) = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} , \ \ \ \ L_A \left( \boldsymbol{u}_2 \right) = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align} であり、 $DL_A(\boldsymbol{u}_1) = \boldsymbol{0}, DL_A(\boldsymbol{u}_2) = \boldsymbol{0}$ すなわち $L_A(\boldsymbol{u}_1), L_A(\boldsymbol{u}_2) \in V$ がわかる。
次に、任意の $\boldsymbol{v} \in V$ は、適当な実数 $s,t$ によって $ \boldsymbol{v} = s \boldsymbol{u}_1 + t \boldsymbol{u}_2 $ と表されるので、この $\boldsymbol{v}$ について、 $L_A$ の線形性より、 \begin{align} L_A \left( \boldsymbol{v} \right) &= s L_A \left( \boldsymbol{u}_1 \right) + t L_A \left( \boldsymbol{u}_2 \right) \\ &\in V \end{align} がわかり、これは $L_A(V) \subset V$ を意味する。
(3) の計算より、 \begin{align} \varphi \left( \boldsymbol{u}_1 \right) &= 5 \boldsymbol{u}_1 + 6 \boldsymbol{u}_2 \\ \varphi \left( \boldsymbol{u}_2 \right) &= -3 \boldsymbol{u}_1 - 4 \boldsymbol{u}_2 \end{align} がわかるので、 \begin{align} \begin{pmatrix} \varphi \left( \boldsymbol{u}_1 \right) & \varphi \left( \boldsymbol{u}_2 \right) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{u}_1 & \boldsymbol{u}_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 6 & -4 \end{pmatrix} \end{align} すなわち、 \begin{align} B = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 6 & -4 \end{pmatrix} \end{align} である。
任意の $\boldsymbol{v} \in V$ は、適当な実数 $s,t$ によって $ \boldsymbol{v} = s \boldsymbol{u}_1 + t \boldsymbol{u}_2 $ と表され、この $\boldsymbol{v}$ について、 \begin{align} \varphi \left( \boldsymbol{v} \right) &= s \varphi \left( \boldsymbol{u}_1 \right) + t \varphi \left( \boldsymbol{u}_2 \right) \\ &= (5s-3t) \boldsymbol{u}_1 + (6s-4t) \boldsymbol{u}_2 \end{align} となるので、 $\boldsymbol{v}$ が $\varphi$ の固有ベクトルになるのは、 \begin{align} 5s-3t = \lambda s , \ \ 6s-4t = \lambda t \end{align} をみたす実数 $\lambda \ (\ne 0)$ が存在するときである。 この条件は、 \begin{align} (5s-3t)t &= (6s-4t)s \\ \therefore \ \ (2s-t)(s-t) &= 0 \end{align} と表されるので、 $2s=t$ または $s=t$ のとき、 $\boldsymbol{v}$ は $\varphi$ の固有ベクトルとなる。 したがって、例えば、 \begin{align} \boldsymbol{v}_1 &= \boldsymbol{u}_1 + \boldsymbol{u}_2 \\ \boldsymbol{v}_2 &= \boldsymbol{u}_1 + 2 \boldsymbol{u}_2 \end{align} は $V$ の基底であり、 この基底に関して $\varphi$ の表現行列は対角行列となる。 すなわち、題意の条件を満たす基底は存在する。