筑波大学 大学院 理工情報生命学術院
数理物質科学研究群 数学学位プログラム
2022年度 [2]

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(1)

$$\begin{align} D \boldsymbol{u}_1 = \boldsymbol{0} , \ \ D \boldsymbol{u}_2 = \boldsymbol{0} \end{align}$$ より、 $\boldsymbol{u}_1, \boldsymbol{u}_2 \in V$ がわかる。

(2)

$$\begin{align} D \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2a+b+c+d \\ a-d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align}$$ とおくと $d=a, c=a-b$ が得られるので、 $V$ は2次元であることがわかる。

$\boldsymbol{u}_1, \boldsymbol{u}_2$ は、互いに実数倍ではないので、 1次独立であり、 (1) を考慮して、 $V$ の基底であることがわかる。

(3)

まず、 $$\begin{align} L_A \left( \boldsymbol{u}_1 \right) = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} , \ \ \ \ L_A \left( \boldsymbol{u}_2 \right) = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align}$$ であり、 $DL_A(\boldsymbol{u}_1) = \boldsymbol{0}, DL_A(\boldsymbol{u}_2) = \boldsymbol{0}$ すなわち $L_A(\boldsymbol{u}_1), L_A(\boldsymbol{u}_2) \in V$ がわかる。

次に、任意の $\boldsymbol{v} \in V$ は、適当な実数 $s,t$ によって $\boldsymbol{v} = s \boldsymbol{u}_1 + t \boldsymbol{u}_2$ と表されるので、この $\boldsymbol{v}$ について、 $L_A$ の線形性より、 $$\begin{align} L_A \left( \boldsymbol{v} \right) &= s L_A \left( \boldsymbol{u}_1 \right) + t L_A \left( \boldsymbol{u}_2 \right) \\ &\in V \end{align}$$ がわかり、これは $L_A(V) \subset V$ を意味する。

(4)

(3) の計算より、 $$\begin{align} \varphi \left( \boldsymbol{u}_1 \right) &= 5 \boldsymbol{u}_1 + 6 \boldsymbol{u}_2 \\ \varphi \left( \boldsymbol{u}_2 \right) &= -3 \boldsymbol{u}_1 - 4 \boldsymbol{u}_2 \end{align}$$ がわかるので、 $$\begin{align} \begin{pmatrix} \varphi \left( \boldsymbol{u}_1 \right) & \varphi \left( \boldsymbol{u}_2 \right) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{u}_1 & \boldsymbol{u}_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 6 & -4 \end{pmatrix} \end{align}$$ すなわち、 $$\begin{align} B = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 6 & -4 \end{pmatrix} \end{align}$$ である。

(5)

任意の $\boldsymbol{v} \in V$ は、適当な実数 $s,t$ によって $\boldsymbol{v} = s \boldsymbol{u}_1 + t \boldsymbol{u}_2$ と表され、この $\boldsymbol{v}$ について、 $$\begin{align} \varphi \left( \boldsymbol{v} \right) &= s \varphi \left( \boldsymbol{u}_1 \right) + t \varphi \left( \boldsymbol{u}_2 \right) \\ &= (5s-3t) \boldsymbol{u}_1 + (6s-4t) \boldsymbol{u}_2 \end{align}$$ となるので、 $\boldsymbol{v}$ が $\varphi$ の固有ベクトルになるのは、 $$\begin{align} 5s-3t = \lambda s , \ \ 6s-4t = \lambda t \end{align}$$ をみたす実数 $\lambda \ (\ne 0)$ が存在するときである。 この条件は、 $$\begin{align} (5s-3t)t &= (6s-4t)s \\ \therefore \ \ (2s-t)(s-t) &= 0 \end{align}$$ と表されるので、 $2s=t$ または $s=t$ のとき、 $\boldsymbol{v}$ は $\varphi$ の固有ベクトルとなる。 したがって、例えば、 $$\begin{align} \boldsymbol{v}_1 &= \boldsymbol{u}_1 + \boldsymbol{u}_2 \\ \boldsymbol{v}_2 &= \boldsymbol{u}_1 + 2 \boldsymbol{u}_2 \end{align}$$ は $V$ の基底であり、 この基底に関して $\varphi$ の表現行列は対角行列となる。 すなわち、題意の条件を満たす基底は存在する。