\begin{align} \text{Pr} (Y \leq z, X \lt \lambda Y) &= \iint_{y \leq z, x \lt \lambda y} \phi(x) \phi(y) dx dy \\ &= \int_{- \infty}^z \phi(y) \left\{ \int_{- \infty}^{\lambda y} \phi(x) dx \right\} dy \\ &= \int_{- \infty}^z \phi(y) \Phi(\lambda y) dy \\ &= \int_{- \infty}^z \Phi(\lambda v) \phi(v) dv \end{align}
$ \phi(-x) = \phi(x) $ であり、 \begin{align} \Phi(-x) &= \int_{- \infty}^{-x} \phi(z) dz \\ &= 1 - \int_{-x}^\infty \phi(z) dz \\ &= 1 - \int_{-\infty}^x \phi(w) dw \ \ \ \ \ \ \ \ (w = -z) \\ &= 1 - \Phi(x) \end{align} であるから、 $ v=-y $ として、 \begin{align} \int_{-z}^\infty \left\{ 1 - \Phi(\lambda y) \right\} \phi(y) dy &= \int_z^{- \infty} \left\{ 1 - \Phi(- \lambda v) \right\} \phi(-v) (-dv) \\ &= \int_{- \infty}^z \Phi(\lambda v) \phi(v) dv \end{align} を得る。
[問1] より、 \begin{align} \text{Pr} (Y \leq z, X \lt \lambda Y) &= \int_{- \infty}^z \Phi(\lambda v) \phi(v) dv \end{align} であり、 \begin{align} \text{Pr} (- Y \leq z, X \geq \lambda Y) &= \text{Pr} (Y \gt -z, X \geq \lambda Y) \\ &= \iint_{y \gt -z, x \geq \lambda y} \phi(x) \phi(y) dx dy \\ &= \int_{-z}^\infty \phi(y) \left\{ \int_{\lambda y}^\infty \phi(x) dx \right\} dy \\ &= \int_{-z}^\infty \left\{ 1 - \Phi(\lambda y) \right\} \phi(y) dy \\ &= \int_{- \infty}^z \Phi(\lambda v) \phi(v) dv \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because \text{ [問2]}) \end{align} であるから、 \begin{align} \text{Pr} (Z \leq z) &= \text{Pr} (Y \leq z, X \lt \lambda Y) + \text{Pr} (- Y \leq z, X \geq \lambda Y) \\ &= 2 \int_{- \infty}^z \Phi(\lambda v) \phi(v) dv \end{align} を得る。