（省略）
\begin{align} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & 9 & 5 \\ 4 & 1 & 2 & 5 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 8 & 3 \\ 0 & -3 & -2 & -3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 8 & 3 \\ -3 & -2 & -3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \end{align}
\begin{align} \int_3^5 \frac{dx}{x^2-9x+14} &= \int_3^5 \frac{dx}{(x-2)(x-7)} \\ &= \frac{1}{5} \int_3^5 \left( \frac{1}{x-7} - \frac{1}{x-2} \right) dx \\ &= \frac{1}{5} \left[ \log |x-7| - \log |x-2| \right]_3^5 \\ &= \frac{1}{5} \left\{ \left( \log 2 - \log 3 \right) - \left( \log 4 - \log 1 \right) \right\} \\ &= - \frac{1}{5} \log 6 \end{align}
\begin{align} \int_0^\infty \frac{dx}{x^2+4x+5} &= \int_0^\infty \frac{dx}{(x+2)^2+1} \\ &= \left[ \arctan (x+2) \right]_0^\infty \\ &= \frac{\pi}{2} - \arctan 2 \end{align}
$ y = \sin^{-1} x $ とすると、 $ x = \sin y $ であり、 $ x \to 0 $ のとき $ y \to 0 $ である。 また、 $ \sin y $ のマクローリン展開が \begin{align} \sin y = y - \frac{1}{6} y^3 + \cdots \end{align} であることに注意して、 \begin{align} \lim_{x \to 0} \frac{ \sin^{-1} x - x }{x^3} &= \lim_{y \to 0} \frac{ y - \sin y }{\sin^3 y} = \lim_{y \to 0} \frac{ y - \left(y - \frac{1}{6} y^3 + \cdots \right) } {\left(y - \frac{1}{6} y^3 + \cdots \right)^3} = \lim_{y \to 0} \frac{ \frac{1}{6} y^3 + \cdots }{y^3 + \cdots} = \frac{1}{6} \end{align}