行列式は $ 1 \cdot 4 - 3 \cdot 2 = -2 $ なので逆行列を持ち、それは、 \begin{align} - \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \end{align}
行列式は $ 1 \cdot 9 - 3 \cdot 3 = 0 $ なので逆行列を持たない。
$ y = x^2-3x+1 $ として、 \begin{align} \frac{d}{dx} 5^{x^2-3x+1} = \frac{dy}{dx} \frac{d}{dy} 5^y = (2x-3) 5^y \log 5 = (\log 5) (2x-3) 5^{x^2-3x+1} \end{align}
\begin{align} \frac{d}{dx} \left( \log \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \right) &= \frac{1}{2} \frac{d}{dx} \left( \log (1-x) - \log (1+x) \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{-1}{1-x} - \frac{1}{1+x} \right) \\ &= - \frac{1}{1-x^2} \end{align}
\begin{align} \log (1+x) &= x - \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{3} x^3 + \cdots \\ e^x &= 1 + x + \frac{1}{2} x^2 + \cdots \end{align} に注意して、 \begin{align} (1+x)^{1/x} &= e^{\frac{1}{x} \log (1+x)} \\ &= e^{\frac{1}{x} \left( x - \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{3} x^3 + \cdots \right)} \\ &= e^{1 - \frac{1}{2} x + \frac{1}{3} x^2 + \cdots} \\ &= e \cdot e^{- \frac{1}{2} x + \frac{1}{3} x^2 + \cdots} \\ &= e \left\{ 1 + \left( - \frac{1}{2} x + \frac{1}{3} x^2 + \cdots \right) + \frac{1}{2} \left( - \frac{1}{2} x + \frac{1}{3} x^2 + \cdots \right)^2 + \cdots \right\} \\ &= e \left( 1 - \frac{1}{2} x + \frac{11}{24} x^2 + \cdots \right) \end{align}
（ グラム-シュミットの直交化法 を使えばよい。 例えば、 小寺平治「明解演習 線形代数」第6章 を参照。 ）