点Pの位置を表す確率変数を $Z$ とすると、その確率密度関数は、 \begin{align} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{- \frac{z^2}{2}} \end{align} である。 $x \gt 0$ に対して、 $ Z^2 \lt x $ すなわち $ - \sqrt{x} \lt Z \lt \sqrt{x} $ となる確率は、 \begin{align} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}} e^{- \frac{z^2}{2}} dz = \sqrt\frac{2}{\pi} \int_0^{\sqrt{x}} e^{- \frac{z^2}{2}} dz \end{align} これを $x$ で微分して、求める確率密度関数を得る： \begin{align} \frac{d}{dx} \sqrt\frac{2}{\pi} \int_0^{\sqrt{x}} e^{- \frac{z^2}{2}} dz = \sqrt\frac{2}{\pi} e^{- \frac{x}{2}} \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{ 2 \pi x}} e^{- \frac{x}{2}} \end{align}
$(X_1, X_2, \cdots, X_n)$ の同時確率密度関数は、 \begin{align} \left( 2 \pi \right)^{- \frac{n}{2}} e^{- \frac{1}{2} \left( x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \right) } \end{align} である。 $X = X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2$ とすると、 $x \gt 0$ に対して、$X \lt x$ となる確率は、 \begin{align} P(X \lt x) &= \left( 2 \pi \right)^{- \frac{n}{2}} \int \int \cdots \int_{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \lt x} e^{- \frac{1}{2} \left( x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \right) } dx_1 dx_2 \cdots dx_n \\ &= \left( 2 \pi \right)^{- \frac{n}{2}} S \int_0^{\sqrt{x}} e^{- \frac{1}{2} r^2 } r^{n-1} dr \end{align} ここで $S$ は n次元単位球の表面積であり、 $r = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}$ である。
求める確率密度関数 $f(x)$ は、 \begin{align} f(x) = \frac{d}{dx} P(X \lt x) &= \left( 2 \pi \right)^{- \frac{n}{2}} S e^{- \frac{1}{2} x } x^{\frac{n-1}{2}} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ &= C x^{\frac{n}{2} - 1} e^{- \frac{1}{2} x } \end{align} ここで $C$ は $x$ によらない定数であるが、$f(x)$ の規格化の条件から求めることができる： \begin{align} 1 = \int_0^\infty f(x) dx &= C \int_0^\infty x^{\frac{n}{2} - 1} e^{- \frac{1}{2} x } dx \\ &= C \cdot 2^{\frac{n}{2}} \int_0^\infty y^{\frac{n}{2} - 1} e^{- y } dy \ \ \ \ \ \ \ \ (y=x/2) \\ &= C \cdot 2^{\frac{n}{2}} \ \Gamma \left( \frac{n}{2} \right) \end{align} \begin{align} \therefore C = \frac{1}{\Gamma \left( \frac{n}{2} \right) 2^\frac{n}{2}} \end{align} よって、 \begin{align} f(x) = \frac{1}{\Gamma \left( \frac{n}{2} \right) 2^\frac{n}{2}} x^{\frac{n}{2} - 1} e^{- \frac{1}{2} x } \end{align}
$z=x+y, w=\frac{x}{x+y}$ とすると、 $x=zw, y=z(1-w)$ であり、 $dx dy = |z| dz dw $ である。 また、 $ x \gt 0, y \gt 0 $ のとき、 $ z \gt 0, 0 \lt w \lt 1 $ である。
$X, Y$ の同時確率密度関数は、 \begin{align} \frac{1}{\Gamma \left( \frac{n}{2} \right) \Gamma \left( \frac{m}{2} \right) 2^\frac{n+m}{2}} x^{\frac{n}{2} - 1} y^{\frac{m}{2} - 1} e^{- \frac{1}{2} (x+y) } \end{align} であるから、 $Z=X+Y, W=\frac{X}{X+Y}$ の同時確率密度関数 $f(z,w)$ は、 \begin{align} f(z,w) &= \frac{1}{\Gamma \left( \frac{n}{2} \right) \Gamma \left( \frac{m}{2} \right) 2^\frac{n+m}{2}} z^{\frac{n}{2} - 1} w^{\frac{n}{2} - 1} z^{\frac{m}{2} - 1} (1-w)^{\frac{m}{2} - 1} e^{- \frac{1}{2} z } z \\ &= \frac{1}{\Gamma \left( \frac{n+m}{2} \right) 2^\frac{n+m}{2}} z^{\frac{n+m}{2} - 1} e^{- \frac{1}{2} z } \cdot \frac{\Gamma \left( \frac{n+m}{2} \right)} {\Gamma \left( \frac{n}{2} \right) \Gamma \left( \frac{m}{2} \right)} w^{\frac{n}{2} - 1} (1-w)^{\frac{m}{2} - 1} \end{align} これより、 $Z$ と $W$ は独立で、 $Z$ は自由度 $n+m$ のカイ二乗分布、 $W$ は母数 $(n/2, m/2)$ のベータ分布であることがわかる。