\begin{align} f^{(1)}(x) &= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\ &= \frac{1}{\cos^2 x} \\ f^{(2)}(x) &= \frac{-2 \cdot (- \sin x)}{\cos^3 x} \\ &= \frac{2 \sin x}{\cos^3 x} \\ f^{(3)}(x) &= \frac{2 \left( \cos^4 x - \sin x \cdot 3 \cos^2 x \cdot (- \sin x) \right)}{\cos^6 x} \\ &= \frac{2 \left( \cos^2 x + 3 \sin^2 x \right)}{\cos^4 x} \\ &= \frac{2 \left( 2 \sin^2 x + 1 \right)}{\cos^4 x} \end{align}
\begin{align} f(0) &= 0 \\ f^{(1)}(0) &= 1 \\ f^{(2)}(0) &= 0 \\ f^{(3)}(0) &= 2 \end{align} なので、 $f(x)$ の $x=0$ のまわりので3次までのテイラー展開は \begin{align} f(x) &= x + \frac{1}{3} x^3 + \cdots \end{align} であり、 \begin{align} \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-x}{x^3} &= \frac{1}{3} \end{align} がわかる。
与えられた行列 $A$ の行列式は \begin{align} ab^3 + bc^3 + ca^3 - (ac^3 + ba^3 + cb^3) \\ = (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) \end{align} であり、これが $0$ でないとき逆行列をもつ。 $a,b,c$ が正の実数であることを考慮すると、 $A$ が逆行列をもつ条件は $a,b,c$ に等しいものがないことである。
\begin{align} F \left( \frac{\pi}{3} \right) - F \left( \frac{\pi}{4} \right) &= \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2} \end{align}
\begin{align} f(x) &= \begin{cases} 0 & (x \leq 0) \\ \cos x & (0 \lt x \lt \frac{1}{2} \pi) \\ 0 & (x \geq \frac{1}{2} \pi) \end{cases} \end{align}
\begin{align} E(X) &= \int_0^\frac{\pi}{2} x \cos x dx \\ &= \left[ x \sin x \right]_0^\frac{\pi}{2} - \int_0^\frac{\pi}{2} \sin x dx \\ &= \frac{\pi}{2} + \left[ \cos x \right]_0^\frac{\pi}{2} \\ &= \frac{\pi}{2} - 1 \\ E(X^2) &= \int_0^\frac{\pi}{2} x^2 \cos x dx \\ &= \left[ x^2 \sin x \right]_0^\frac{\pi}{2} - 2 \int_0^\frac{\pi}{2} x \sin x dx \\ &= \frac{\pi^2}{4} + 2 \left[ x \cos x \right]_0^\frac{\pi}{2} - 2 \int_0^\frac{\pi}{2} \cos x dx \\ &= \frac{\pi^2}{4} - 2 \left[ \sin x \right]_0^\frac{\pi}{2} \\ &= \frac{\pi^2}{4} - 2 \\ V(X) &= E(X^2) - E(X)^2 \\ &= \pi - 3 \end{align}