\begin{align} f^{(1)}(x) &= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\ &= \frac{1}{\cos^2 x} \\ f^{(2)}(x) &= \frac{-2 \cdot (- \sin x)}{\cos^3 x} \\ &= \frac{2 \sin x}{\cos^3 x} \\ f^{(3)}(x) &= \frac{2 \left( \cos^4 x - \sin x \cdot 3 \cos^2 x \cdot (- \sin x) \right)}{\cos^6 x} \\ &= \frac{2 \left( \cos^2 x + 3 \sin^2 x \right)}{\cos^4 x} \\ &= \frac{2 \left( 2 \sin^2 x + 1 \right)}{\cos^4 x} \end{align}
\begin{align} f(0) &= 0 \\ f^{(1)}(0) &= 1 \\ f^{(2)}(0) &= 0 \\ f^{(3)}(0) &= 2 \end{align} なので、 $f(x)$ の $x=0$ のまわりので3次までのテイラー展開は \begin{align} f(x) &= x + \frac{1}{3} x^3 + \cdots \end{align} であり、 \begin{align} \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-x}{x^3} &= \frac{1}{3} \end{align} がわかる。