与えられた行列 $A$ の行列式は \begin{align} ab^3 + bc^3 + ca^3 - (ac^3 + ba^3 + cb^3) \\ = (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) \end{align} であり、これが $0$ でないとき逆行列をもつ。 $a,b,c$ が正の実数であることを考慮すると、 $A$ が逆行列をもつ条件は 「 $a \ne b$ かつ $b \ne c$ かつ $c \ne a$ 」 である。