与えられた微分方程式 (3-1) の左辺に $y(x)=x$ を代入すると、 \begin{align} x \cdot 1 + 2x^2 - x - 2x^2 = 0 \end{align} となるので、 $y(x)=\eta(x)=x$ が (3-1) の解であることがわかる。
与えられた微分方程式 (3-1) に $y(x)=Y(x)+\eta(x)=Y(x)+x$ を代入すると、 \begin{align} x \left( \frac{dY(x)}{dx} + 1 \right) + 2 \left( Y(x) + x \right)^2 - \left( Y(x) + x \right) - 2x^2 &= 0 \\ x \frac{dY(x)}{dx} + 2 Y(x)^2 + 4x Y(x) - Y(x) &= 0 \\ \frac{1}{Y(x)^2} \frac{dY(x)}{dx} + \left( 4 - \frac{1}{x} \right) \frac{1}{Y(x)} &= - \frac{2}{x} \tag{a} \end{align} となるので、 \begin{align} f(x) = 4 - \frac{1}{x} , \ \ g(x) = - \frac{2}{x} \end{align} がわかる。
$z(x)=1/Y(x)$ とおくと \begin{align} \frac{dz(x)}{dx} = - \frac{1}{Y(x)^2} \frac{dY(x)}{dx} \end{align} となるので、 (2) で得た微分方程式 (a) より、 $z(x)$ に関する微分方程式 \begin{align} \frac{dz(x)}{dx} + \left( \frac{1}{x} - 4 \right) z(x) &= \frac{2}{x} \tag{b} \end{align} を得る。
微分方程式 (b) を解くために、まず、 \begin{align} \frac{dz(x)}{dx} + \left( \frac{1}{x} - 4 \right) z(x) &= 0 \tag{c} \end{align} を考えると、 \begin{align} \frac{dz}{z} &= \left( 4 - \frac{1}{x} \right) dx \\ \therefore \ \ \log |z| &= 4x - \log |x| + A_0 \ \ \ \ \ \ \ \ ( A_0 \text{ は積分定数 } ) \\ \therefore \ \ z(x) &= \frac{A_1 e^{4x}}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ ( A_1 \text{ は積分定数 } ) \end{align} を得る。 そこで、 (b) に $z(x) = A(x) e^{4x} / x$ （ $A(x)$ は $x$ の関数） を代入して整理すると、 \begin{align} \frac{dA(x)}{dx} &= 2e^{-4x} \\ \therefore \ \ A(x) &= - \frac{1}{2} e^{-4x} + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{align} を得る。 よって、 (b) の一般解は、 \begin{align} z(x) &= \frac{- \frac{1}{2} e^{-4x} + C}{x} e^{4x} \\ &= \frac{2Ce^{4x}-1}{2x} \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{align} であることがわかる。
よって、 (3-1) の一般解は、 \begin{align} y(x) &= \frac{2x}{2Ce^{4x}-1} + x \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \\ &= \frac{2Ce^{4x}+1}{2Ce^{4x}-1} x \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{align} であることがわかる。