$x = r \cos \theta, y = r \sin \theta$ とおくと、 \begin{align} \frac{dx}{d \theta} &= \frac{dr}{d \theta} \cos \theta - r \sin \theta \\ &= a \cos \theta - r \sin \theta \\ \frac{dy}{d \theta} &= \frac{dr}{d \theta} \sin \theta + r \cos \theta \\ &= a \sin \theta + r \cos \theta \end{align} であり、 $\theta = \pi/2$ のとき \begin{align} r &= \frac{\pi a}{2} \\ \frac{dx}{d \theta} &= - \frac{\pi a}{2} \\ \frac{dy}{d \theta} &= a \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{\frac{dy}{d \theta}}{\frac{dy}{d \theta}} = - \frac{2}{\pi} \end{align} である。 よって、求める接線の傾きは $-2/\pi$ である。
\begin{align} \iint_D x e^{y^3} dx dy &= \int_0^1 dy e^{y^3} \int_0^y dx x \\ &= \frac{1}{2} \int_0^1 dy e^{y^3} y^2 \\ &= \frac{1}{6} \int_0^1 dz e^z \ \ \ \ \ \ \ \ (z = y^3) \\ &= \frac{1}{6} \left[ e^z \right]_0^1 \\ &= \frac{e-1}{6} \end{align}
まず、 \begin{align} \frac{d^2 y}{dx^2} - 4 \frac{dy}{dx} + 4y = 0 \tag{a} \end{align} に $y=e^{\lambda x}$ （ $\lambda$ は $x$ によらない定数）を代入すると、 \begin{align} (\lambda-2)^2 &= 0 \\ \therefore \ \ \lambda &= 2 \end{align} となるので、微分方程式 (a) の一般解は \begin{align} y = Ae^{2x} + Bxe^{2x} \ \ \ \ \ \ \ \ \text{( $A,B$ は任意定数）} \end{align} である。 また、与えられた微分方程式に $y=C x^2 e^{2x}$ （ $C$ は $x$ によらない定数）を代入すると、 $C=1/2$ を得るので、 $y=(1/2)x^2e^{2x}$ は特殊解である。 以上より、与えられた微分方程式の一般解は \begin{align} y = Ae^{2x} + Bxe^{2x} + \frac{1}{2} x^2 e^{2x} \ \ \ \ \ \ \ \ \text{( $A,B$ は任意定数）} \end{align} である。