静岡大学 大学院 総合科学技術研究科
情報学専攻 情報科学
2022年実施 数学・数理系

(問1)

期待値を $E$ 、分散を $V$ で表す。

(1)

\begin{align} E(n) &= \sum_{n=0}^N n \frac{N!}{(N-n)!n!} p^n q^{N-n} \\ &= \sum_{n=1}^N \frac{N!}{(N-n)!(n-1)!} p^n q^{N-n} \\ &= Np \sum_{k=0}^{N-1} \frac{(N-1)!}{(N-1-k)! k!} p^k q^{N-1-k} \ \ \ \ \ \ \ \ (k=n-1) \\ &= Np (p+q)^{N-1} \\ &= Np \end{align}

(2)

\begin{align} E(n(n-1)) &= \sum_{n=0}^N n(n-1) \frac{N!}{(N-n)!n!} p^n q^{N-n} \\ &= \sum_{n=2}^N \frac{N!}{(N-n)!(n-2)!} p^n q^{N-n} \\ &= N(N-1)p^2 \sum_{k=0}^{N-2} \frac{(N-2)!}{(N-2-k)! k!} p^k q^{N-2-k} \ \ \ \ \ \ \ \ (k=n-2) \\ &= N(N-1)p^2 (p+q)^{N-2} \\ &= N(N-1)p^2 \\ \therefore \ \ V(n) &= E(n^2) - E(n)^2 \\ &= E(n(n-1)) + E(n) - E(n)^2 \\ &= N(N-1)p^2 + Np - N^2p^2 \\ &= Np(1-p) \end{align}

(3)

$p \ll q$ のとき $p \ll 1$ であるから、 $ V(n) \approx Np $ であり、 $ V(n) \approx E(n) $ である。