$\gamma_R$ 上で $z = R e^{\mathrm{i} \theta} \ ( 0 \leq \theta \leq \pi )$ であるから、 \begin{align} e^{\mathrm{i} z} &= e^{\mathrm{i} R \cos \theta} e^{- R \sin \theta} \\ \therefore \ \ \left| e^{\mathrm{i} z} \right| &= e^{- R \sin \theta} \leq 1 \end{align} であり、また、 \begin{align} \left| z^2 + 4 \right| \geq R^2 - 4 \ \left( \gt 0 \right) \end{align} である。 よって、 \begin{align} \left| \int_{\gamma_R} \frac{e^{\mathrm{i} z}}{z^2 + 4} dz \right| &\leq \int_{\gamma_R} \left| \frac{e^{\mathrm{i} z}}{z^2 + 4} \right| \left| dz \right| \\ &\leq \frac{\pi R}{R^2 - 4} \\ &\to 0 \ \ (R \to \infty) \\ \therefore \ \ \lim_{R \to \infty} \int_{\gamma_R} \frac{e^{\mathrm{i} z}}{z^2 + 4} dz &= 0 \end{align} を得る。
複素関数 \begin{align} f(z) &= \frac{e^{\mathrm{i} z}}{z^2 + 4} = \frac{e^{\mathrm{i} z}}{(z+2i)(z-2i)} \end{align} は $z= \pm 2i$ に1位の極をもち、 $z=2i$ における留数は \begin{align} \lim_{z \to 2i} (z-2i) f(z) &= \lim_{z \to 2i} \frac{e^{\mathrm{i} z}}{z+2i} = \frac{e^{-2}}{4i} \end{align} である。
点 $z=-R$ から点 $z=R$ を線分で結ぶ積分路を $\gamma'_R$ とする。 $\gamma'_R$ と $\gamma_R$ をつないだ積分路について、 留数定理より、 \begin{align} \int_{\gamma'_R} f(z) dz + \int_{\gamma_R} f(z) dz &= 2 \mathrm{i} \pi \cdot \frac{e^{-2}}{4i} \\ \therefore \ \ \int_{-R}^R \frac{e^{\mathrm{i} x}}{x^2 + 4} dx + \int_{\gamma_R} f(z) dz &= \frac{\pi}{2} e^{-2} \end{align} がわかる。 $R \to \infty$ とすると、 (1) より左辺第2項は $0$ となるので、 \begin{align} \int_{- \infty}^\infty \frac{e^{\mathrm{i} x}}{x^2 + 4} dx &= \frac{\pi}{2} e^{-2} \end{align} を得る。 両辺の実部を考えると、 \begin{align} \int_{- \infty}^\infty \frac{\cos x}{x^2 + 4} dx &= \frac{\pi}{2} e^{-2} \end{align} がわかる。