$x$ の関数 $f(x)$ を使って、 $y=f(x)x$ を (2) に代入すると、 \begin{align} \frac{df(x)}{dx} x &= \log x \\ \therefore \ \ f(x) &= \int \frac{\log x}{x} dx \\ &= \int \left( \log x \right)' \log x dx \\ &= \left( \log x \right)^2 - \int \frac{\log x}{x} dx \\ \therefore \ \ f(x) &= \frac{1}{2} \left( \log x \right)^2 + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{align} となるので、求める一般解は \begin{align} y &= \frac{1}{2} x \left( \log x \right)^2 + Cx \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{align} である。
まず、 \begin{align} \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} - 2y = 0 \end{align} に $y=e^{\lambda x}$ （ $\lambda$ は $x$ によらない定数） を代入すると、 \begin{align} \lambda^2 - \lambda - 2 &= 0 \\ (\lambda - 2)(\lambda + 1) &= 0 \\ \therefore \ \ \lambda &= 2, -1 \end{align} となるので、この微分方程式の一般解は \begin{align} y = A e^{2x} + B e^{-x} \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } ) \end{align} である。
次に、 (3) に $y=Cx^2+Dx+E$ （ $C,D,E$ は $x$ によらない定数） を代入すると、 \begin{align} C = -1, \ \ D = 0, \ \ E = -1 \end{align} を得るので、 \begin{align} y = -x^2 - 1 \end{align} は (3) の特殊解である。
以上より、 (3) の一般解は \begin{align} y = A e^{2x} + B e^{-x} -x^2 - 1 \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } ) \end{align} である。