余緯角（方位角）を $\theta$ 、緯度角（偏角）を $\varphi$ とすると、 $ dx dy dz = r^2 \sin \theta dr d \theta d \varphi $ であるから、 \begin{align} \iiint_{r \leq a} \frac{1}{r^2} dx dy dz &= \int_0^a dr \int_0^\pi d \theta \int_0^{2 \pi} d \varphi \frac{r^2 \sin \theta}{r^2} \\ &= 2 \pi a \left[ - \cos \theta \right]_0^\pi \\ &= 4 \pi a \end{align} である。
与えられた行列の固有値を $\lambda$ とすると、 \begin{align} 0 &= \begin{vmatrix} \lambda + 1 & 1 & -1 \\ 1 & \lambda + 1 & 1 \\ -1 & 1 & \lambda + 1 \end{vmatrix} = (\lambda - 1)(\lambda + 2)^2 \\ \therefore \lambda &= 1, -2 \end{align} である。
(i) 固有値 $1$ に対応する固有ベクトルを求めるため、次のようにおく： \begin{align} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} . \end{align} これを整理すると、 $x+y=0, x=z$ であるから、例えば、 \begin{align} v_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align} が規格化された固有ベクトルである。
(ii) 固有値 $-2$ に対応する固有ベクトルを求めるため、次のようにおく： \begin{align} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = -2 \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} . \end{align} これを整理すると、 $y=x+z$ であるから、例えば、 \begin{align} v_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , v_3 = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{align} が規格化された互いに直交する固有ベクトルである。
$v_1$ と $v_2$ 、 $v_1$ と $v_3$ も互いに直交している。