$\psi(0)=0$ であるから、 \begin{align} \psi(0) = B = 0 \end{align} よって、 \begin{align} \psi(x) = A \sin kx \end{align} また、 $\psi(L)=0$ であるから、 \begin{align} \psi(L) = A \sin kL = 0 \end{align} よって、 $k$ は、正の整数 $n$ を使って、 \begin{align} k_n L = \pi n , \ \ \ \ \therefore \ k_n = \frac{\pi}{L} n \end{align} と書かれる。 よって、固有状態の波動関数は、 \begin{align} \psi_n(x) = A \sin k_n x = A \sin \frac{n \pi x}{L} \end{align} である。
波動関数の規格化条件から $A$ を求める： \begin{align} 1 &= \int_0^L | \psi_n(x) |^2 dx = |A|^2 \int_0^L \sin^2 k_n x dx = |A|^2 \int_0^L \frac{1 - \cos 2k_nx}{2} dx \\ &= \frac{|A|^2}{2} \left[ x - \frac{1}{2} \sin 2k_nx \right]_0^L = \frac{|A|^2 L}{2} \end{align} よって、 $A = \sqrt{2/L}$ とすればよく、 \begin{align} \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin k_n x = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \frac{n \pi x}{L} \end{align} を得る。
最後に、エネルギー固有値 $E_n$ を求めるため、次のように計算する： \begin{align} - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \psi_n(x) &= - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} A \sin \frac{n \pi x}{L} = \frac{\hbar^2 \pi^2 n^2}{2m L^2} A \sin \frac{n \pi x}{L} \\ &= \frac{\hbar^2 \pi^2 n^2}{2m L^2} \psi_n(x) \end{align} よって、 \begin{align} E_n = \frac{\hbar^2 \pi^2 n^2}{2m L^2} \end{align} を得る。
\begin{align} \psi_3(x) &= \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \frac{3 \pi x}{L} \\ \left| \psi_3(x) \right|^2 &= \frac{2}{L} \sin^2 \frac{3 \pi x}{L} \end{align}
\begin{align} \varphi(x) &= C \sin^3 \frac{\pi x}{L} = C \left( \frac{3}{4} \sin \frac{\pi x}{L} - \frac{1}{4} \sin \frac{3 \pi x}{L} \right) \\ &= \frac{C}{4} \sqrt{\frac{L}{2}} \left( 3 \psi_1(x) - \psi_3(x) \right) \end{align} したがって、 $\varphi(x)$ は $\psi_1(x)$ と $\psi_3(x)$ の重ね合わせで表された。
次に、 $\varphi(x)$ の規格化条件から $C$ を求める： \begin{align} 1 &= \int_0^L \left| \varphi(x) \right|^2 dx = \frac{|C|^2 L}{32} \int_0^L \left( 9 \psi_1^2(x) - 6 \psi_1(x) \psi_3(x) + \psi_3^2(x) \right) dx \\ &= \frac{|C|^2 L}{32} \cdot 10 = \frac{5 L |C|^2}{16} \end{align} よって、 $C = 4/\sqrt{5L}$ とすればよく、 \begin{align} \varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{10}} \left( 3 \psi_1(x) - \psi_3(x) \right) \end{align} を得る。
最後に、 $\psi_1(x), \psi_3(x)$ に存在する確率は、それぞれ、 \begin{align} \left( \frac{3}{\sqrt{10}} \right)^2 = \frac{9}{10} , \ \ \left( \frac{-1}{\sqrt{10}} \right)^2 = \frac{1}{10} \end{align} である。
$\varphi(x)$ におけるエネルギー期待値は、次のように計算できる： \begin{align} \int_0^L \varphi(x) \mathcal{H} \varphi(x) &= \frac{1}{10} \int_0^L \left\{ 3 \psi_1(x) - \psi_3(x) \right\} \mathcal{H} \left\{ 3 \psi_1(x) - \psi_3(x) \right\} dx \\ &= \frac{1}{10} \int_0^L \left\{ 3 \psi_1(x) - \psi_3(x) \right\} \left\{ 3 E_1 \psi_1(x) - E_3 \psi_3(x) \right\} dx \\ &= \frac{1}{10} \left( 9 E_1 + E_3 \right) \\ &= \frac{1}{10} \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} \cdot 18 \\ &= \frac{9 \hbar^2 \pi^2}{10 m L^2} \end{align}