$x,y,z$ 方向の単位ベクトルをそれぞれ $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ とし、 \begin{align} r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \end{align} とする。
\begin{align} \frac{\partial r}{\partial x} &= \frac{1}{2} \frac{2x}{r} \\ &= \frac{x}{r} ,\\ \frac{\partial V}{\partial x} &= - \frac{\partial}{\partial x} \frac{1}{r} \\ &= \frac{1}{r^2} \frac{\partial r}{\partial x} \\ &= \frac{x}{r^3} \end{align} であり、同様にして \begin{align} \frac{\partial V}{\partial y} = \frac{y}{r^3} , \ \ \frac{\partial V}{\partial z} = \frac{z}{r^3} \end{align} であるから、 \begin{align} \boldsymbol{\nabla} V = \frac{x \boldsymbol{i} + y \boldsymbol{j} + z \boldsymbol{k}}{r^3} \end{align} がわかる。
円筒上の点の座標は $(a \cos \varphi, a \sin \varphi, z)$ （ただし $0 \leq \varphi \lt 2 \pi$ ）と書け、この点において \begin{align} r &= \sqrt{a^2 + z^2} ,\\ \boldsymbol{\nabla} V &= \frac{a \boldsymbol{i} \cos \varphi + a \boldsymbol{j} \sin \varphi + z \boldsymbol{k}}{\left( a^2 + z^2 \right)^{3/2}} ,\\ \boldsymbol{n} &= \boldsymbol{i} \cos \varphi + \boldsymbol{j} \sin \varphi ,\\ \boldsymbol{\nabla} V \cdot \boldsymbol{n} &= \frac{a}{\left( a^2 + z^2 \right)^{3/2}} \end{align} であるから、 \begin{align} I &= \int_S \boldsymbol{\nabla} V \cdot \boldsymbol{n} \ dS \\ &= \int_{-\infty}^\infty dz \int_0^{2 \pi} d \varphi \ \frac{a^2}{\left( a^2 + z^2 \right)^{3/2}} \\ &= 4 \pi a^2 \int_0^\infty dz \ \frac{1}{\left( a^2 + z^2 \right)^{3/2}} \\ &= 4 \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d \theta}{\cos^2 \theta} \ \frac{1}{\left( 1 + \tan^2 \theta \right)^{3/2}} & (z = a \tan \theta) \\ &= 4 \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} d \theta \ \cos \theta \\ &= 4 \pi \left[ \sin \theta \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ &= 4 \pi \end{align} を得る。