\begin{align} \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{6} = \frac{1}{2} \end{align}
\begin{align} \frac{1}{2} \cdot \frac{{}_6C_2 - {}_4C_2}{{}_6C_2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{{}_6C_2 - 3}{{}_6C_2} = \frac{7}{10} \end{align}
初めに箱 A, B を選ぶことをそれぞれ $X_1=A,B$ で表し、 次に箱 A, B を選ぶことをそれぞれ $X_2=A,B$ で表す。 また、初めに赤玉を選ぶことを $Y_1=R$ で表し、 次に赤玉を選ぶことを $Y_2=R$ で表す。
初めの玉が赤玉であったとき、選んだ箱がA,Bであった確率は、 それぞれ、 \begin{align} P(X_1 = A \mid Y_1 = R) &= \frac{P(X_1=A) P(Y_1=R \mid X_1=A)}{P(Y_1=R)} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \\ P(X_1 = B \mid Y_1 = R) &= \frac{P(X_1=B) P(Y_1=R \mid X_1=B)}{P(Y_1=R)} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \end{align} である。 初めに箱Aを選んで赤玉を取り出したとき、 次に箱 A, B を選んで赤玉を取り出す確率は、それぞれ、 \begin{align} P(Y_2=R \mid X_1 = A , Y_1 = R, X_2=A) &= \frac{3}{5} \\ P(Y_2=R \mid X_1 = A , Y_1 = R, X_2=B) &= \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \end{align} であり、 初めに箱Bを選んで赤玉を取り出したとき、 次に箱 A, B を選んで赤玉を取り出す確率は、それぞれ、 \begin{align} P(Y_2=R \mid X_1 = B , Y_1 = R, X_2=A) &= \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \\ P(Y_2=R \mid X_1 = B , Y_1 = R, X_2=B) &= \frac{1}{5} \end{align} である。 よって、 初めに赤玉を取り出したとき、次に同じ箱を選んで赤玉を取り出す確率は、 \begin{align} & P(X_1=A \mid Y_1=R) P(Y_2=R \mid X_1=A , Y_1=R, X_2=A) \\ & \ \ \ \ + P(X_1=B \mid Y_1=R) P(Y_2=R \mid X_1=B , Y_1=R, X_2=B) \\ &= \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} \\ &= \frac{7}{15} \end{align} であり、 次に別の箱を選んで赤玉を取り出す確率は、 \begin{align} & P(X_1=A \mid Y_1=R) P(Y_2=R \mid X_1=A , Y_1=R, X_2=B) \\ & \ \ \ \ + P(X_1=B \mid Y_1=R) P(Y_2=R \mid X_1=B , Y_1=R, X_2=A) \\ &= \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \\ &= \frac{4}{9} \end{align} であるから、前者の方が大きい。