\begin{align} 1 &= 12 \int_0^1 x^2(a-x) dx \\ &= 4a-3 \\ \therefore \ \ \ \ a &= 1 \end{align}
\begin{align} 12 \int_0^{1/3} x^2(1-x) dx = \frac{1}{9} \end{align}
\begin{align} \mu &= 12 \int_0^1 x^3 (1-x) dx \\ &= \frac{3}{5} \\ \sigma^2 &= 12 \int_0^1 x^4 (1-x) dx - \left( \frac{3}{5} \right)^2 \\ &= \frac{1}{25} \end{align}
表が出る確率 $\theta$ のコインを $n$ 回投げて すべて表が出る確率は $\theta^n$ であるから、 これの期待値は、 \begin{align} \int_0^1 \theta^n f(\theta) d \theta &= 12 \int_0^1 \theta^{n+2} (1- \theta) d \theta \\ &= \frac{12}{(n+3)(n+4)} \end{align} である。