名古屋大学 大学院 情報学研究科
知能システム学専攻, 情報システム学専攻
2020年度 確率・統計

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[1]

(1)

$$\begin{align} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \end{align}$$

(2)

$$\begin{align} 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \end{align}$$

(3)

$$\begin{align} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16} \end{align}$$

(4)

求める期待値 $E(\text{表})$ は、 $$\begin{align} E \left( \text{表} \right) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 + 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3 + \cdots \end{align}$$ であるが、両辺 1/2 倍すると、 $$\begin{align} \frac{1}{2} E \left( \text{表} \right) = 1 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 + 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3 + 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^4 + \cdots \end{align}$$ となる。 1番目の式から2番目の式を引くと、 $$\begin{align} \frac{1}{2} E \left( \text{表} \right) &= \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^3 + \cdots \\ &= \frac{1}{2} \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} \\ &= 1 \end{align}$$ となるから、 $$\begin{align} E \left( \text{表} \right) = 2 \end{align}$$ を得る。

(5)

与えられた式を整理して、 $$\begin{align} E \left( \text{表表} \right) &= 2 E \left( \text{表} \right) + 2 \\ &= 6 \end{align}$$ を得る。

(6)

(5) と同じように考えて、 $$\begin{align} E \left( \text{表表表} \right) &= 2 E \left( \text{表表} \right) + 2 \\ &= 14 \end{align}$$ を得る。

[2]

(1)

$$\begin{align} \frac{\partial}{\partial x} f_{X,Y}(x,y) &= a ( -x^2 + 2x + y^2 ) e^{-x} \\ \frac{\partial}{\partial y} f_{X,Y}(x,y) &= -2ay e^{-x} \end{align}$$ であるから、 $f_{X,Y}(x,y)$ が最大となるのは $x=2,y=0$ のときである。

(2)

$$\begin{align} f_X(x) &= a e^{-x} \int_{-x}^x ( x^2 - y^2 ) dy \\ &= \frac{4}{3} a x^3 e^{-x} \end{align}$$

(3)

$$\begin{align} 1 &= \int_0^\infty f_X(x) dx \\ &= \frac{4}{3} a \int_0^\infty x^3 e^{-x} dx \\ &= 8a \end{align}$$ であるから、 $$\begin{align} a = \frac{1}{8} \end{align}$$ である。

(4)

$$\begin{align} \mu_x &= \int_0^\infty x f_X(x) dx \\ &= \frac{1}{6} \int_0^\infty x^4 e^{-x} dx \\ &= 4 \end{align}$$