\begin{align} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \end{align}
\begin{align} 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \end{align}
\begin{align} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16} \end{align}
求める期待値 $E(\text{表})$ は、 \begin{align} E \left( \text{表} \right) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 + 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3 + \cdots \end{align} であるが、両辺 1/2 倍すると、 \begin{align} \frac{1}{2} E \left( \text{表} \right) = 1 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 + 2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3 + 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^4 + \cdots \end{align} となる。 1番目の式から2番目の式を引くと、 \begin{align} \frac{1}{2} E \left( \text{表} \right) &= \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^3 + \cdots \\ &= \frac{1}{2} \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} \\ &= 1 \end{align} となるから、 \begin{align} E \left( \text{表} \right) = 2 \end{align} を得る。
与えられた式を整理して、 \begin{align} E \left( \text{表表} \right) &= 2 E \left( \text{表} \right) + 2 \\ &= 6 \end{align} を得る。
(5) と同じように考えて、 \begin{align} E \left( \text{表表表} \right) &= 2 E \left( \text{表表} \right) + 2 \\ &= 14 \end{align} を得る。
\begin{align} \frac{\partial}{\partial x} f_{X,Y}(x,y) &= a ( -x^2 + 2x + y^2 ) e^{-x} \\ \frac{\partial}{\partial y} f_{X,Y}(x,y) &= -2ay e^{-x} \end{align} であるから、 $f_{X,Y}(x,y)$ が最大となるのは $x=2,y=0$ のときである。
\begin{align} f_X(x) &= a e^{-x} \int_{-x}^x ( x^2 - y^2 ) dy \\ &= \frac{4}{3} a x^3 e^{-x} \end{align}
\begin{align} 1 &= \int_0^\infty f_X(x) dx \\ &= \frac{4}{3} a \int_0^\infty x^3 e^{-x} dx \\ &= 8a \end{align} であるから、 \begin{align} a = \frac{1}{8} \end{align} である。
\begin{align} \mu_x &= \int_0^\infty x f_X(x) dx \\ &= \frac{1}{6} \int_0^\infty x^4 e^{-x} dx \\ &= 4 \end{align}