\begin{align} \frac{\partial}{\partial x} f_{X,Y}(x,y) &= a ( -x^2 + 2x + y^2 ) e^{-x} \\ \frac{\partial}{\partial y} f_{X,Y}(x,y) &= -2ay e^{-x} \end{align} であるから、 $f_{X,Y}(x,y)$ が最大となるのは $x=2,y=0$ のときである。
\begin{align} f_X(x) &= a e^{-x} \int_{-x}^x ( x^2 - y^2 ) dy \\ &= \frac{4}{3} a x^3 e^{-x} \end{align}
\begin{align} 1 &= \int_0^\infty f_X(x) dx \\ &= \frac{4}{3} a \int_0^\infty x^3 e^{-x} dx \\ &= 8a \end{align} であるから、 \begin{align} a = \frac{1}{8} \end{align} である。
\begin{align} \mu_x &= \int_0^\infty x f_X(x) dx \\ &= \frac{1}{6} \int_0^\infty x^4 e^{-x} dx \\ &= 4 \end{align}