配置する点の位置を、線分の一端からの長さで表す。
点の位置を $X$ とすると、 切断後の線分の中で少なくとも1つの長さが $0.7$ より長くなるのは、 $ 0 \lt X \lt 0.3 $ または $ 0.7 \lt X \lt 1 $ のときなので、 求める確率は $0.6$ である。
2点の位置を $X_1, X_2$ とする。 切断後の線分の中で少なくとも1つの長さが $0.5$ より長くなるのは \begin{align} &\text{ (i) } 0 \lt X_1 \lt 0.5 \text{ かつ } 0 \lt X_2 \lt 0.5 \text{ : 確率 } 0.25 \\ &\text{ (ii) } 0 \lt X_1 \lt 0.5 \text{ かつ } 0.5 + X_1 \lt X_2 \lt 1 \text{ : 確率 } 0.125 \\ &\text{ (iii) } 0.5 \lt X_1 \lt 1 \text{ かつ } 0.5 \lt X_2 \lt 1 \text{ : 確率 } 0.25 \\ &\text{ (iv) } 0.5 \lt X_1 \lt 1 \text{ かつ } 0 \lt X_2 \lt X_1 - 0.5 \text{ : 確率 } 0.125 \end{align} のときなので、求める確率は $0.75$ である。
$X$ の確率密度関数 $f(x)$ は、 $1 \leq x \leq 3$ において、 \begin{align} f(x) = \frac{1}{2} \end{align} であり、それ以外では $0$ である。
$Y$ の確率密度関数 $g(y)$ は、 $0$ でないのは $3 \leq y \leq 11$ のときであり、このとき \begin{align} g(y) &= f(x) \left| \frac{dx}{dy} \right| \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{y-2}} \\ &= \frac{1}{4 \sqrt{y-2}} \end{align} である。
\begin{align} P(X) = {}_n \mathrm{C}_X \left( \frac{1}{6} \right)^X \left( \frac{5}{6} \right)^{n-X} \end{align}
サイコロを振る回数を $n$ とすると、求める条件は、 \begin{align} \left( \frac{5}{6} \right)^n &\geq 0.4 \\ &= \frac{2}{5} \\ n \log_e \frac{5}{6} & \geq \log_e \frac{2}{5} \\ n &\leq \frac{\log_e \frac{2}{5}}{\log_e \frac{5}{6}} \\ &= \frac{\log_e 5 - \log_e 2}{\log_e 6 - \log_e 5} \\ &\approx \frac{1.6094 - 0.6931}{1.7918 - 1.6094} \\ &\approx 5.02 \end{align} であるから、5回まで振ることができる。
サイコロを10回振ったとき1の目が出る回数が1回以下となる確率を $p$ とすると、 \begin{align} p &= \left( \frac{5}{6} \right)^{10} + 10 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^9 \\ &= \left( \frac{5}{6} \right)^9 \cdot \frac{5}{2} \end{align} なので、 \begin{align} \log_e p &= 9 (\log_e 5 - \log_e 6) + \log_e 5 - \log_e 2 \\ &= 10 \log_e 5 - 9 \log_e 6 - \log_e 2 \\ &\approx -0.7253 \end{align} である。 一方、 \begin{align} \log_e 0.5 &= \log_e \frac{1}{2} \\ &= - \log_e 2 \\ &\approx - 0.6931 \end{align} である。 よって、 \begin{align} \log_e p \lt \log_e 0.5 \end{align} であり、 $\log_e x$ は単調増加関数なので、 $p$ は $0.5$ 以上ではない。