\begin{align} (z+1)^2 &= 2i \\ z+1 &= \pm \sqrt{2} \cdot \frac{1+i}{\sqrt{2}} \\ &= \pm (1+i) \\ \therefore \ \ z &= i, -2-i \end{align}
まず、 \begin{align} \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 3y &, \ \ \frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2 - 3x , \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6x , \ \ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 6y &, \ \ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = -3 \end{align} であり、 $\partial f/\partial x = \partial f/\partial y = 0$ となるのは、 $(x,y)=(0,0),(1,1)$ のときである。
$(x,y)=(0,0)$ でのヘッセ行列は、 \begin{align} \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ -3 & 0 \end{pmatrix} \end{align} であり、これの2つの固有値を $\alpha, \beta$ とすると、 $\alpha \beta = -9$ から異符号である。 よって、この点は鞍点であり、極値を与えない。
$(x,y)=(1,1)$ でのヘッセ行列は、 \begin{align} \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ -3 & 6 \end{pmatrix} \end{align} であり、これの2つの固有値を $\alpha, \beta$ とすると、 $\alpha + \beta = 12, \alpha \beta = 27$ から、どちらも正である。 よって、この点で極小値をとり、その値は $f(1,1)=-2$ である。
\begin{align} A = \begin{pmatrix} a & a+1 \\ a+1 & a \end{pmatrix} \end{align}
$A$ の固有値を $\lambda$ とすると、 \begin{align} 0 &= \det \begin{pmatrix} a - \lambda & a+1 \\ a+1 & a - \lambda \end{pmatrix} \\ &= (\lambda + 1)(\lambda - 2a - 1) \\ \therefore \ \ \lambda &= -1, 2a+1 \end{align} である。
2次形式 $Q$ が定符号であるということは、 対称行列 $A$ の2つの固有値が同符号であるということなので、 求める範囲は \begin{align} 2a+1 &\lt 0 \\ \therefore \ \ a &\lt - \frac{1}{2} \end{align} である。
$y=x^m$ とすると、 \begin{align} \frac{dy}{dx} &= m x^{m-1} \\ \frac{d^2 y}{dx^2} &= m(m-1) x^{m-2} \end{align} であり、これらを与えられた微分方程式 (*) に代入して、 $x \gt 0$ に注意して整理すると、 \begin{align} (m-2)^2 &= 0 \\ \therefore \ \ m &= 2 \end{align} を得る。 実際、 \begin{align} y = x^2 \end{align} が (*) の解であることは簡単に確かめられる。
$y=x^2 u(x)$ として、 $z = du/dx$ を使うと、 \begin{align} \frac{dy}{dx} &= 2xu + x^2 z \\ \frac{d^2 y}{dx^2} &= 2u + 4xz + x^2 \frac{dz}{dx} \end{align} であり、これらを与えられた微分方程式 (*) に代入して、 $x \gt 0$ に注意して整理すると、 \begin{align} x \frac{dz}{dx} + z = 0 \end{align} を得る。
(b) で得られた微分方程式を積分して、積分定数を適当に選ぶと、 \begin{align} z &= \frac{1}{x} \\ u &= \log x \end{align} を得る。 実際、 $y = x^2 \log x$ は (*) を満たす。 以上より、 (*) の一般解は、任意定数を $A,B$ として、 \begin{align} y = A x^2 + B x^2 \log x \end{align} である。