まず、 \begin{align} \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 3y &, \ \ \frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2 - 3x , \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6x , \ \ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 6y &, \ \ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = -3 \end{align} であり、 $\partial f/\partial x = \partial f/\partial y = 0$ となるのは、 $(x,y)=(0,0),(1,1)$ のときである。
$(x,y)=(0,0)$ でのヘッセ行列は、 \begin{align} \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ -3 & 0 \end{pmatrix} \end{align} であり、これの2つの固有値を $\alpha, \beta$ とすると、 $\alpha \beta = -9$ から異符号である。 よって、この点は鞍点であり、極値を与えない。
$(x,y)=(1,1)$ でのヘッセ行列は、 \begin{align} \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ -3 & 6 \end{pmatrix} \end{align} であり、これの2つの固有値を $\alpha, \beta$ とすると、 $\alpha + \beta = 12, \alpha \beta = 27$ から、どちらも正である。 よって、この点で極小値をとり、その値は $f(1,1)=-2$ である。