名古屋大学 大学院 情報学研究科
知能システム学専攻
2022年度 解析・線形代数 [3]

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(a)

\begin{align} A = \begin{pmatrix} a & a+1 \\ a+1 & a \end{pmatrix} \end{align}

(b)

$A$ の固有値を $\lambda$ とすると、 \begin{align} 0 &= \det \begin{pmatrix} a - \lambda & a+1 \\ a+1 & a - \lambda \end{pmatrix} \\ &= (\lambda + 1)(\lambda - 2a - 1) \\ \therefore \ \ \lambda &= -1, 2a+1 \end{align} である。

(c)

2次形式 $Q$ が定符号であるということは、 対称行列 $A$ の2つの固有値が同符号であるということなので、 求める範囲は \begin{align} 2a+1 &\lt 0 \\ \therefore \ \ a &\lt - \frac{1}{2} \end{align} である。