$y=x^m$ とすると、 \begin{align} \frac{dy}{dx} &= m x^{m-1} \\ \frac{d^2 y}{dx^2} &= m(m-1) x^{m-2} \end{align} であり、これらを与えられた微分方程式 (*) に代入して、 $x \gt 0$ に注意して整理すると、 \begin{align} (m-2)^2 &= 0 \\ \therefore \ \ m &= 2 \end{align} を得る。 実際、 \begin{align} y = x^2 \end{align} が (*) の解であることは簡単に確かめられる。
$y=x^2 u(x)$ として、 $z = du/dx$ を使うと、 \begin{align} \frac{dy}{dx} &= 2xu + x^2 z \\ \frac{d^2 y}{dx^2} &= 2u + 4xz + x^2 \frac{dz}{dx} \end{align} であり、これらを与えられた微分方程式 (*) に代入して、 $x \gt 0$ に注意して整理すると、 \begin{align} x \frac{dz}{dx} + z = 0 \end{align} を得る。
(b) で得られた微分方程式を積分して、積分定数を適当に選ぶと、 \begin{align} z &= \frac{1}{x} \\ u &= \log x \end{align} を得る。 実際、 $y = x^2 \log x$ は (*) を満たす。 以上より、 (*) の一般解は、任意定数を $A,B$ として、 \begin{align} y = A x^2 + B x^2 \log x \end{align} である。