\begin{align} P(X) = {}_n \mathrm{C}_X \left( \frac{1}{6} \right)^X \left( \frac{5}{6} \right)^{n-X} \end{align}
サイコロを振る回数を $n$ とすると、求める条件は、 \begin{align} \left( \frac{5}{6} \right)^n &\geq 0.4 \\ &= \frac{2}{5} \\ n \log_e \frac{5}{6} & \geq \log_e \frac{2}{5} \\ n &\leq \frac{\log_e \frac{2}{5}}{\log_e \frac{5}{6}} \\ &= \frac{\log_e 5 - \log_e 2}{\log_e 6 - \log_e 5} \\ &\approx \frac{1.6094 - 0.6931}{1.7918 - 1.6094} \\ &\approx 5.02 \end{align} であるから、5回まで振ることができる。
サイコロを10回振ったとき1の目が出る回数が1回以下となる確率を $p$ とすると、 \begin{align} p &= \left( \frac{5}{6} \right)^{10} + 10 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^9 \\ &= \left( \frac{5}{6} \right)^9 \cdot \frac{5}{2} \end{align} なので、 \begin{align} \log_e p &= 9 (\log_e 5 - \log_e 6) + \log_e 5 - \log_e 2 \\ &= 10 \log_e 5 - 9 \log_e 6 - \log_e 2 \\ &\approx -0.7253 \end{align} である。 一方、 \begin{align} \log_e 0.5 &= \log_e \frac{1}{2} \\ &= - \log_e 2 \\ &\approx - 0.6931 \end{align} である。 よって、 \begin{align} \log_e p \lt \log_e 0.5 \end{align} であり、 $\log_e x$ は単調増加関数なので、 $p$ は $0.5$ 以上ではない。