\begin{align} \frac{d \boldsymbol{u}}{dt} &= \begin{pmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{d^2x}{dt^2} \\ \frac{d^3x}{dt^3} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{d^2x}{dt^2} \\ 3 \frac{d^2x}{dt^2} + 6 \frac{dx}{dt} - 8x \end{pmatrix} &( \because \text{ 式 (1) } ) \\ &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -8 & 6 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ \frac{dx}{dt} \\ \frac{d^2x}{dt^2} \end{pmatrix} \end{align} から、 \begin{align} A &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -8 & 6 & 3 \end{pmatrix} \end{align} がわかる。
計算は省略するが、 $A$ の固有値は $-2, 1, 4$ である。
式 (1) に $x=e^{\lambda t}$ （ $\lambda$ は $t$ によらない定数）を代入すると、 \begin{align} \lambda^3 - 3 \lambda^2 - 6 \lambda + 8 &= 0 \\ (\lambda + 2)(\lambda - 1)(\lambda - 4) &= 0 \\ \therefore \ \ \lambda = -2, 1, 4 \end{align} を得るので、求める一般解は \begin{align} x &= a e^{-2t} + b e^t + c e^{4t} &( a, b, c \text{ は積分定数 } ) \end{align} である。