\begin{align} a_1 = 2 e^{\frac{\pi}{3}i} , \ \ a_2 = 2 e^{\frac{\pi}{2}i} \end{align} なので、 \begin{align} \frac{a_1}{a_2} &= e^{- \frac{\pi}{6}i} \end{align} であり、 $\frac{a_1}{a_2}$ の絶対値は $1$ であり、偏角は $-\frac{\pi}{6} + 2 \pi n$ （ $n$ は整数）である。
$z_1, z_2, z_3$ が表す点をそれぞれ A, B, C と書く。 線分 AB の長さと線分 AC の長さが等しく、 $\angle \mathrm{BAC} = \pi/3$ であるから、 \begin{align} \frac{z_3-z_1}{z_2-z_1} = e^{\pm \frac{\pi}{3} i} \tag{1} \end{align} である。 また、線分 BC の長さと線分 BA の長さが等しく、 $\angle \mathrm{CBA} = \pi/3$ であるから、 \begin{align} \frac{z_1-z_2}{z_3-z_2} = e^{\pm \frac{\pi}{3} i} \tag{2} \end{align} である。 3点の位置関係を考えると、 (1) と (2) は等しいことがわかるので、 \begin{align} \frac{z_3-z_1}{z_2-z_1} = \frac{z_1-z_2}{z_3-z_2} \end{align} であり、整理して、 \begin{align} z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 - z_1 z_2 - z_2 z_3 - z_3 z_1 = 0 \end{align} を得る。