\begin{align} y(x) &= (\arccos x)^{\log x} \\ &= e^{\log x \cdot \log (\arccos x)} \end{align} なので、 \begin{align} \frac{dy(x)}{dx} &= (\arccos x)^{\log x} \cdot \frac{d}{dx} \left( \log x \cdot \log (\arccos x) \right) \\ &= (\arccos x)^{\log x} \left( \frac{1}{x} \cdot \log (\arccos x) + \log x \cdot \frac{-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{\arccos x} \right) \\ &= (\arccos x)^{\log x} \left( \frac{\log (\arccos x)}{x} - \frac{\log x}{\arccos x \sqrt{1-x^2}} \right) \end{align}
積分定数を $C$ で表す。
$p=0$ のときは、 \begin{align} \int \frac{x^2+x+2}{x^3} dx &= \int \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x^3} \right) dx \\ &= \log |x| - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} + C \end{align} であり、 $p \ne 0$ のときは、 \begin{align} \int \frac{x^2+x+2}{x^3-px^2} dx &= \int \frac{x^2+x+2}{x^2(x-p)} dx \\ &= \frac{1}{p^2} \int \left( - \frac{p+2}{x} - \frac{2p}{x^2} + \frac{p^2+p-2}{x-p} \right) dx \\ &= \frac{1}{p^2} \left( - (p+2) \log |x| + \frac{2p}{x} + (p^2+p-2) \log |x-p| \right) + C \end{align} である。
$x = \sin \phi \ \ (0 \leq \phi \leq \theta \lt \pi/2)$ とすると、 $dx = \cos \phi \ d \phi$ なので、 \begin{align} I &= \int_0^{\sin \theta} \frac{\arctan(\arcsin x)}{\sqrt{1-x^2}} dx \\ &= \int_0^\theta \frac{\arctan \phi}{\cos \phi} \cdot \cos \phi \ d \phi \\ &= \int_0^\theta \arctan \phi \ d \phi \\ &= \left[ \phi \arctan \phi \right]_0^\theta - \int_0^\theta \frac{\phi}{1+\phi^2} d \phi \\ &= \theta \arctan \theta - \frac{1}{2} \left[ \log \left(1 + \phi^2 \right) \right]_0^\theta \\ &= \theta \arctan \theta - \frac{1}{2} \log \left(1 + \theta^2 \right) \end{align} を得る。