\begin{align} \frac{df(x)}{dx} &= \frac{dp(x)}{dx} \exp (iax) + iap(x) \exp (iax) \\ &= -ibq(x) \exp (-iax) + iap(x) \exp (iax) \\ &= iaf(x) - ibg(x) \\ \frac{dg(x)}{dx} &= \frac{dq(x)}{dx} \exp (iax) - iaq(x) \exp (-iax) \\ &= -ibp(x) \exp (iax) - iaq(x) \exp (-iax) \\ &= -ibf(x) - iag(x) \end{align}
複素数 $A$ の複素共役を $\bar{A}$ で表す。 \begin{align} \frac{d}{dx} \left| f(x) \right|^2 &= \frac{d \overline{f(x)}}{dx} \cdot f(x) + \overline{f(x)} \cdot \frac{df(x)}{dx} \\ &= \left( - ia \overline{f(x)} + ib \overline{g(x)} \right) f(x) + \overline{f(x)} \left( ia f(x) - ib g(x) \right) \\ \frac{d}{dx} \left| g(x) \right|^2 &= \frac{d \overline{g(x)}}{dx} \cdot g(x) + \overline{g(x)} \cdot \frac{dg(x)}{dx} \\ &= \left( ib \overline{f(x)} + ia \overline{g(x)} \right) g(x) + \overline{g(x)} \left( -ib f(x) - ia g(x) \right) \end{align} なので、 \begin{align} \frac{d}{dx} \left( \left| f(x) \right|^2 + \left| g(x) \right|^2 \right) = 0 \end{align} がわかる。 つまり、 $ \left| f(x) \right|^2 + \left| g(x) \right|^2 $ は $x$ に依存しない。