\begin{align} P_A(n+1) &= P_A(n) (1-\alpha) + P_B(n) \beta \\ P_B(n+1) &= P_A(n) \alpha + P_B(n) (1-\beta) \end{align} なので、 \begin{align} M = \begin{pmatrix} 1-\alpha & \beta \\ \alpha & 1-\beta \end{pmatrix} \end{align} である。
$M$ の固有値は $1, 1-\alpha-\beta$ であり、それぞれに対応する固有ベクトルは、例えば、 \begin{align} \begin{pmatrix} \beta \\ \alpha \end{pmatrix} , \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align} である。
A,Bである確率が一定値に収束するとすると、それは $M$ の固有ベクトルであり、確率は負にならないことを考慮して、 \begin{align} \lim_{k \to \infty} P_A(k) = \frac{\beta}{\alpha+\beta} , \ \ \lim_{k \to \infty} P_B(k) = \frac{\alpha}{\alpha+\beta} \end{align} であることがわかる。
\begin{align} P_A(\infty) = \lim_{k \to \infty} P_A(k) = \frac{\beta}{\alpha+\beta} \end{align} と書くことにする。
\begin{align} R_A(n+1) &= P_A(n+1) - P_A(\infty) \\ &= P_A(n) (1-\alpha) + P_B(n) \beta - P_A(\infty) \\ &= P_A(n) (1-\alpha) + \left(1 - P_A(n) \right) \beta - P_A(\infty) \\ &= (1-\alpha-\beta) P_A(n) + \beta - P_A(\infty) \\ R_A(n) &= P_A(n) - P_A(\infty) \end{align} であるから、 $P_A(n)$ を消去して、 \begin{align} R_A(n+1) &= (1-\alpha-\beta) \left( R_A(n) + P_A(\infty) \right) + \beta - P_A(\infty) \\ &= (1-\alpha-\beta) R_A(n) \end{align} を得る。