\begin{align} c_1 (\boldsymbol{a}_1 + \boldsymbol{a}_2) + c_2 (\boldsymbol{a}_2 + \boldsymbol{a}_3) + \cdots + c_m (\boldsymbol{a}_m + \boldsymbol{a}_1) = \boldsymbol{0} \end{align} が成り立つとしたとき $c_1 = c_2 = \cdots = c_m = 0$ が導かれるかを検討する。
上の式を整理すると、 \begin{align} (c_1+c_m) \boldsymbol{a}_1 + (c_1+c_2) \boldsymbol{a}_2 + (c_2+c_3) \boldsymbol{a}_3 + \cdots + (c_{m-1}+c_m) \boldsymbol{a}_m = \boldsymbol{0} \end{align} となり、 $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_m$ が1次独立であることから、 \begin{align} c_1+c_m = c_1+c_2 = c_2+c_3 = \cdots = c_{m-1}+c_m = 0 \end{align} よって、 \begin{align} c_2 &= c_4 = \cdots = -c_1 , \\ c_3 &= c_5 = \cdots = c_1 , \\ c_m &= -c_1 \end{align} を得る。 したがって、 $m$ が奇数のときは $c_1 = c_2 = \cdots = c_m = 0$ が導かれるので $ \boldsymbol{a}_1 + \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_2 + \boldsymbol{a}_3, \cdots, \boldsymbol{a}_m + \boldsymbol{a}_1 $ は1次独立となる。 $m$ が偶数のときはそうは言えない。