$M(z)=z$ を整理すると、 \begin{align} (m-1)z(z-1)=0 \end{align} であり、 $m \ne 0$ なので、 $z=0,1$ を得る。 実際、 $M(0)=0, M(1)=1$ である。
\begin{align} \frac{dM(z)}{dz} &= \frac{m(mz-z+1) - mz(m-1)}{(mz-z+1)^2} \\ &= \frac{m}{(mz-z+1)^2} \\ \therefore \ \ \frac{dM(0)}{dz} &= m \end{align}
$0$ でない複素数 $z$ を極形式で $z=re^{i \theta} \ \ (r \gt 0, 0 \leq \theta \lt 2 \pi)$ と表すと、 \begin{align} J(z) &= e^{-i \alpha} z + e^{i \alpha} z^{-1} \\ &= r e^{i (\theta - \alpha)} + \frac{1}{r} e^{-i (\theta - \alpha)} \\ &= \left( r + \frac{1}{r} \right) \cos (\theta - \alpha) + i \left( r - \frac{1}{r} \right) \sin (\theta - \alpha) \end{align} なので、これの虚部 \begin{align} \left( r - \frac{1}{r} \right) \sin (\theta - \alpha) \end{align} が正となるのは、「 $r \gt 1$ かつ $ \alpha \lt \theta \lt \alpha + \pi$ 」 または「 $r \lt 1$ かつ $ 0 \lt \theta \lt \alpha, \alpha + \pi \lt \theta \lt 2 \pi$ 」 のときである。 （図示は省略。）