衝突直後の B （および A）の速度を $V$ とすると、運動量保存則より、 \begin{align} mv &= (m+M)V \\ \therefore \ \ V &= \frac{m}{m+M} v \end{align} である。 $x$ の速度および加速度をそれぞれ $\dot{x}, \ddot{x}$ と書く。 衝突後の A および B の運動方程式は、 \begin{align} (m+M) \ddot{x} = -kx \end{align} であるから、 角振動数を $\omega = \sqrt{k/(m+M)}$ として、 $t=0$ で $x=0, \dot{x}=V$ であることを考慮して、 \begin{align} x(t) &= \frac{V}{\omega} \sin \omega t \\ &= \frac{mv}{\sqrt{(m+M)k}} \sin \left( \sqrt{\frac{k}{m+M}} t \right) \end{align} を得る。
求める時刻は $\pi / \omega = \pi \sqrt{(m+M)/k}$ である。 また、このときの速度はエネルギー保存則より $-V = -mv/(m+M)$ である。
衝突直後の A, B の速度をそれぞれ $v_A, v_B$ とする。 運動量保存則より、 \begin{align} mv = mv_A + mv_B \end{align} が成り立つ。 また、完全弾性衝突なので、エネルギー保存則 \begin{align} \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} mv_A^2 + \frac{1}{2} mv_B^2 \end{align} が成り立つ。 この連立方程式には2通りの解があるが、 $v_A = v, v_B = 0$ は衝突せずに通り過ぎるということなので、 求める解は、 \begin{align} v_A &= \frac{m-M}{m+M} v \\ v_B &= \frac{2m}{m+M} v \end{align} である。
時刻 $t$ における A, B の位置をそれぞれ $x_A(t), x_B(t)$ とする。 上の 1. で得た式は $M=m$ のとき、$v_A = 0, v_B = v$ となるので、 $\omega_0 = \sqrt{k/m}, t_0 = \pi / \omega_0 = \pi \sqrt{m/k}$ として、 \begin{align} x_A (t) &= \begin{cases} 0 & 0 \leq t \leq t_0 \\ -vt & t_0 \lt t \end{cases} \\ x_B (t) &= \begin{cases} \frac{v}{\omega_0} \sin \omega_0 t & 0 \leq t \leq t_0 \\ 0 & t_0 \lt t \end{cases} \end{align} がわかる。
時刻 $t$ における A, B の位置をそれぞれ $x_A(t), x_B(t)$ とする。
1回目の衝突直後の A, B の速度をそれぞれ $v_A, v_B$ とすると、 運動量保存則 \begin{align} mv = mv_A + 2mv_B \end{align} および 反発係数が $e$ であること \begin{align} e = \frac{v_B - v_A}{v} \end{align} から、 \begin{align} v_A &= \frac{1-2e}{3} v \\ v_B &= \frac{1+e}{3} v \end{align} がわかる。
2回目の衝突の時刻を $t_2 = (7 \sqrt{2} \pi / 6) \sqrt{m/k}$ とする。
時刻 $0 \lt t \lt t_2$ において、 B の角振動数は $\omega_2 = \sqrt{k/(2m)}$ であるから、 \begin{align} x_A(t) &= v_A t \\ x_B(t) &= \frac{v_B}{\omega_2} \sin \omega_2 t \end{align} であり、 $x_B(t)$ の $t$ による微分は、 \begin{align} \dot{x}_B(t) &= v_B \cos \omega_2 t \end{align} である。 よって、2回目の衝突の直前の A, B の速度をそれぞれ $V_A, V_B$ とすると、 \begin{align} V_A &= v_A \\ &= \frac{1-2e}{3} v \\ V_B &= \dot{x}_B(t_2) \\ &= v_B \cos \omega_2 t_2 \\ &= - \frac{1+e}{2 \sqrt{3}} v \end{align} である。
$x_A(t_2) = x_B(t_2)$ から、 \begin{align} e = \frac{7 \pi + 3}{14 \pi - 3} \end{align} を得る。