与えられた楕円の方程式を $x$ で微分して、 \begin{align} \frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0 \end{align} \begin{align} \therefore \ \ \frac{dy}{dx} = - \frac{b^2 x}{a^2 y} \end{align} なので、楕円上の点 $(X,Y)$ における接線の方程式は、 \begin{align} y-Y = - \frac{b^2 X}{a^2 Y} (x-X) \end{align} である。
上で求めた接線とx,y軸との交点をそれぞれ $(p,0),(0,q)$ とすると、 \begin{align} p &= X + \frac{a^2 Y^2}{b^2 X} = \frac{a^2}{X} \\ q &= Y + \frac{b^2 X^2}{a^2 Y} = \frac{b^2}{Y} \end{align} であり、この2点を結ぶ線分の長さを $d$ とすると、 \begin{align} d^2 &= p^2 + q^2 \\ &= \frac{a^4}{X^2} + \frac{b^4}{Y^2} \end{align} である。
この $d^2$ を最小にする $(X,Y)$ を求めるために、 ラグランジュの未定乗数 $\lambda$ を導入して、関数 \begin{align} L(X,Y) &= \frac{a^4}{X^2} + \frac{b^4}{Y^2} - \lambda \left( \frac{X^2}{a^2} + \frac{Y^2}{b^2} \right) \end{align} を最小化する。 \begin{align} 0 &= \frac{\partial L}{\partial X} = - \frac{2a^4}{X^3} - \frac{2 \lambda X}{a^2} = - \frac{2}{a^2 X^3} \left( a^6 + \lambda X^4 \right) \\ 0 &= \frac{\partial L}{\partial Y} = - \frac{2b^4}{Y^3} - \frac{2 \lambda Y}{b^2} = - \frac{2}{b^2 Y^3} \left( b^6 + \lambda Y^4 \right) \end{align} より、 \begin{align} X^4 &= -\frac{a^6}{\lambda} , \ \ Y^4 = -\frac{b^6}{\lambda} \\ \therefore \ \ X^2 &= \frac{a^3}{\sqrt{-\lambda}} , \ \ Y^2 = \frac{b^3}{\sqrt{-\lambda}} \end{align} となるので、これらを楕円の方程式に代入して整理すると、 \begin{align} \lambda = -(a+b)^2 \end{align} したがって、 \begin{align} X^2 = \frac{a^3}{a+b} , \ \ Y^2 = \frac{b^3}{a+b} \end{align} であり、このとき、 \begin{align} d^2 = (a+b)^2 \end{align} である。
まとめると、線分の長さが最小になるのは、接点の座標が \begin{align} \left( \sqrt{\frac{a^3}{a+b}}, \sqrt{\frac{b^3}{a+b}} \right) \end{align} のときであり、このとき、線分の長さは $a+b$ である。