\begin{align} I_O &= \int_0^L \frac{m}{L} x^2 dx \\ &= \frac{m}{L} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^L \\ &= \frac{1}{3} mL^2 \end{align}
\begin{align} I_O \ddot{\theta} &= - mg \frac{L}{2} \sin \theta \\ \frac{1}{3} mL^2 \ddot{\theta} &= - mg \frac{L}{2} \sin \theta \\ \therefore \ \ \ddot{\theta} &= - \frac{3g}{2L} \sin \theta \end{align}
エネルギー保存則より、 \begin{align} \frac{1}{2} I_O \dot{\theta}^2 - mg \frac{L}{2} \cos \theta &= 0 \\ \frac{1}{3} mL^2 \dot{\theta}^2 &= mgL \cos \theta \\ \therefore \ \ \dot{\theta}^2 &= \frac{3g}{L} \cos \theta \end{align}
$0$
棒は始点 O から、鉛直上向きに大きさ $mg$ の力を受ける。
棒と P を合わせた物体を P' とする。 P' の O の周りの慣性モーメントは、 \begin{align} I_O + mx^2 = m \frac{L^2 + 3x^2}{3} \end{align} であり、 O から P' の重心までの距離は $(L/2+x)/2$ であるから、 $\theta$ に関する運動方程式は、 \begin{align} m \frac{L^2 + 3x^2}{3} \ddot{\theta} &= - 2mg \frac{L/2 + x}{2} \sin \theta \\ \ddot{\theta} &= - \frac{3g(L+2x)}{2(L^2+3x^2)} \sin \theta \end{align} である。 よって、微小振動の振動周期は、 \begin{align} 2 \pi \sqrt{ \frac{2(L^2+3x^2)}{3g(L+2x)} } \end{align} である。
エネルギー保存則より \begin{align} \frac{1}{2} m \frac{L^2+3x^2}{3} \dot{\theta}^2 &- 2mg \frac{L/2+x}{2} \cos \theta = 0 \\ \therefore \ \ \dot{\theta}^2 &= \frac{L+2x}{L^2+3x^2} \cdot 3g \cos \theta \end{align} 棒を放してから E が最下点に最初に到達するまで、 $0 \leq \theta \leq \pi/2, \dot{\theta} \leq 0$ なので、 \begin{align} \dot{\theta} &= - \sqrt{\frac{L+2x}{L^2+3x^2}} \sqrt{3g \cos \theta} \\ \therefore \ \ dt &= - \sqrt{\frac{L^2+3x^2}{L+2x}} \frac{d \theta}{\sqrt{3g \cos \theta}} \end{align} である。 よって、 棒を放してから E が最下点に最初に到達するまでの時間を $t_1$ とすると、 \begin{align} t_1 &= - \sqrt{\frac{L^2+3x^2}{L+2x}} \int_{\pi/2}^0 \frac{d \theta}{\sqrt{3g \cos \theta}} \\ &= \sqrt{\frac{L^2+3x^2}{L+2x}} \int_0^{\pi/2} \frac{d \theta}{\sqrt{3g \cos \theta}} \end{align} である。 \begin{align} \frac{d}{dx} \frac{L^2+3x^2}{L+2x} &= \frac{2(3x^2+3Lx-L^2)}{(L+2x)^2} \end{align} からわかるように、 $0 \lt x \leq L$ において $(L^2+3x^2)/(L+2x)$ したがって $t_1$ を最小にする $x$ は、 \begin{align} x = \frac{-3+\sqrt{21}}{2} L \end{align} である。
衝突直後の棒の O の周りの角速度を $\omega$ とすると、 衝突前後のエネルギー保存則と角運動量保存則より、 \begin{align} \frac{1}{2}mv^2 &= \frac{1}{2} I_O \omega^2 , \\ ymv &= I_O \omega \end{align} が成り立ち、これらから $\omega$ を消去して、 \begin{align} y = \frac{L}{\sqrt{3}} \end{align} を得る。
棒と Q を合わせた物体の O の周りの慣性モーメントは、 \begin{align} I &= I_O + my^2 \\ &= \frac{m(L^2 + 3y^2)}{3} \end{align} である。 衝突直後の棒（および Q）の O の周りの角速度を $\omega$ とする。 衝突前後の角運動量保存則より \begin{align} ymv_0 = I \omega \end{align} が成り立ち、衝突直後と E が O が同じ高さに達した時点でのエネルギーが等しいことから \begin{align} \frac{1}{2} I \omega^2 &= mg \frac{L}{2} + mgy \\ &= \frac{1}{2} mg(L+2y) \end{align} が成り立つ。 これらから $\omega$ を消去して、 \begin{align} v_0 &= \frac{1}{y} \sqrt{\frac{(L+2y)(L^2+3y^2)g}{3}} \end{align} を得る。