\begin{align} \frac{a_n}{a_{n+1}} &= \frac{n!}{n^{n + \frac{1}{2}} e^{-n}} \cdot \frac{(n+1)^{n + \frac{3}{2}} e^{-n-1}}{(n+1)!} \\ &= \frac{1}{e} \cdot \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^\frac{1}{2} \cdot \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \\ &\xrightarrow{n \to \infty} 1 \end{align}